Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

18(C5). Квадратное тригонометрическое уравнение имеет на отрезке три корня (вар. 60)

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
sin2x + (a - 2)2sinx + a(a - 2)(a - 3) = 0
имеет на отрезке [0; 2π] ровно три корня.


Решать ли квадратное относительно sinx уравнение? Как искать его корни? Искать ли?
Если дискриминант оказался бы покрасивее, то почему бы и нет. Но в нашем случае...
Тогда представим, что квадратное уравнение решено. Какой расклад нас бы устроил?
а) Пусть корни уравнения 0,2 и 0,7. Тогда мы бы стали решать уравнения sinx = 0,7
и sinx = 0,2 и получили бы четыре корня на отрезке [0; 2π]. Не наш вариант.
б) А если корни квадратного уравнения были бы -0,3 и 92? А если 0 и 15? А если...?
Рассуждая таким образом, приходим к программе-минимум:
Один из корней квадратного уравнения равен 1 или -1 или 0. Уже неплохо.
В идеале хотелось бы получить один из трёх вариантов (смотри рисунок).

C5. Квадратное тригонометрическое уравнение имеет на отрезке три корня (вар. 60)C5. Квадратное тригонометрическое уравнение имеет на отрезке три корня (вар. 60)C5. Квадратное тригонометрическое уравнение имеет на отрезке три корня (вар. 60)

Если Вас смущает последний вариант, пересчитайте корни на отрезке снова.
Теперь подставим вместо sinx в данное уравнение 1 или -1 или 0 по очереди.
1) если sinx = 1, то 1 + (a - 2)2 + a(a - 2)(a - 3) = 0
2) если sinx = -1, то 1 - (a - 2)2 + a(a - 2)(a - 3) = 0
3) если sinx = 0, то a(a - 2)(a - 3) = 0
=============================================
Прежде чем заняться этими уравнениями, замечу, что даже если мы их решим,
найденные а в ответ сходу записывать нельзя. Это лишь необходимые условия,
которые потребуют проверки. Важен и другой корень квадратного уравнения.

=============================================
Проще всего решается третье уравнение, его корни 0, 2 и 3. Проверим каждый.
---- если а = 2, то sin2x = 0; sinx = 0. Устраивает.
---- если а = 0, то sin2x - 4sinx = 0; sinx = 0. Устраивает.
---- если а = 3, то sin2x - sinx = 0; sinx = 0 и sinx = 1. Не устраивает.
=============================================
Решим второе уравнение. Можно, например, заметить один из его корней (3).
Ну а можно заняться разложением на множители левой части:
1 - (a - 2)2 + a(a - 2)(a - 3) = 0
-(а2 -4а + 3) + a(a - 2)(a - 3) = 0
-(а - 3)(а - 1) + a(a - 2)(a - 3) = 0
(а - 3)(а2 - 2а - а + 1) = 0
(а - 3)(а2 - 3а + 1) = 0
                 
Тройку мы уже проверили. Не подставлять же в уравнение радикалы!
Нам нужно, чтобы второй корень оказался строго между числами -1 и 1.
Можно ли его найти, не решая уравнения? Конечно. Поможет т. Виета.
Если первый корень равен -1, то второй корень равен -a(a - 2)(a - 3).

                 

                 

Итак, первое значение а нас устраивает, а второе - нет.
=============================================
Первое уравнение 1 + (a - 2)2 + a(a - 2)(a - 3) = 0 самое трудное.
Поэтому сразу начнём с его второго корня х2 = a(a - 2)(a - 3).
Если этот корень (т.е. свободный член) находится между -1 и 1,
то уравнение, очевидно, решений не имеет, т.к. левая часть
строго положительна. Решать уравнение бессмысленно.

Ответ: 0, 2,

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 6455

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Гостья из форума
Дата: 2014-01-22

Для меня каждое Ваше решение больше,чем математика. Это произведения искусства! Восхищаюсь и учусь.

Комментарий добавил(а): Радиф Галиевич
Дата: 2014-01-22

Ольга Игоревна! Спасибо Вам огромное за такой подробный анализ и за живую беседу с нами

Комментарий добавил(а): антонина ЕМЕЛЬЯНОВНА
Дата: 2014-01-25

СПАСИБО, ПОЛУЧАЮ БОЛЬШОЕ УДОВОЛЬСТВИЕ СОВМЕЩАТЬ СВОЕ И ВАШЕ РЕШЕНИЯ. УЧИТЕЛЬ СО СТАЖЕМ 41 ГОД. НЕ РАБОТАЮ 5ЛЕТ, НО НЕ МОГУ ЖИТЬ БЕЗ МАТЕМАТИКИ. ЖАЛЬ НЕ УМЕЮ

Комментарий добавил(а): Раиса
Дата: 2014-01-23

f(t)=0.В случае t=0 a=0,a=2,как у Вас.Для 2-х рассмотрела системы 1-я f(-1)=0,f(0)не0,f(1)>0.Получила ещё а=(3+корень из5)/2/ 2-я f(1)=0,f(0)не0,f(-1)>0.Эта система не имеет решений. Ур-ние f(1)=0 решила приближённо а=-о,8,но для него f(-1)<0.Простите за компьютерную неграмотность.

Комментарий добавил(а): училка
Дата: 2014-01-28

спасибо за обьяснение

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика