Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). Продолжение общей хорды пересекает общую касательную окружностей (вар. 60)

Продолжение общей хорды АВ двух пересекающихся окружностей радиусов 8 и 2
пересекает их общую касательную в точке С, точка А лежит между В и С,
а М и N - точки касания.
а) Докажите, что отношение расстояний от точки С до прямых АМ и AN равно 1:2.
б) Найдите радиус окружности, проходящей через точки АМ и N.


Продолжение общей хорды пересекает общую касательную окружностей (вар. 60)

Проанализировав условие, замечаем сразу, что точка С - середина отрезка MN,
т.к. по свойству касательных и секущих, проведённых из точки к окружности
CM2 = CA · CB и CN2 = CA · CB, и значит, CM = СN.
Из этого тут же следует равенство площадей треугольников МСА и NCA.

C4. Продолжение общей хорды пересекает общую касательную окружностей (вар. 60)

Расстояния от точки С до прямых АМ и AN есть не что иное, как высоты треугольников,
проведённые к сторонам АМ и AN. Произведение этих высот на основания постоянно,
поэтому достаточно найти отношение оснований a:b (доказать, что оно равно двум).

Существенную роль в данной задаче должны сыграть углы ANM (∠α) и AMN (∠β).
Каждый - это угол между хордой и касательной, проведённой через конец хорды.

C4. Продолжение общей хорды пересекает общую касательную окружностей (вар. 60)

Из теоремы синусов a : sinα = b : sinβ следует равенство a : b = sinα : sinβ.
Чтобы найти отношение синусов, вспомним, что углы между касательной
и хордами AN и AM равны половинам дуг, которые стягивают эти хорды.

C4. Продолжение общей хорды пересекает общую касательную окружностей (вар. 60)

Углы α и β равны половинам центральных углов, опирающихся на хорды.
Проведя из центров окружностей перпендикуляры к отрезкам AN и AM,
получим прямоугольные треугольники с углами α и β соответственно.

C4. Продолжение общей хорды пересекает общую касательную окружностей (вар. 60)

Из треугольников выразим синусы α и β через радиусы окружностей:

                                  

Возвращаемся к отношению, полученному из теоремы синусов:



Отсюда следует замечательный вывод:

                                         

Отношение оснований a и b треугольников МСА и NCA равно двум,
значит, отношение соответствующих высот равно 1:2, ч.т.д.
=======================================
Найдём радиус х окружности, описанной около треугольника AMN.

                                   

Подставим в полученное равенство а = 2R·sinβ:



Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 9681

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Наум
Дата: 2014-01-22

А если центр маленькой окружности внутри?

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-01-22

"А если центр маленькой окружности внутри?" - Внутри чего? И мы не используем никак расположение центра.

Комментарий добавил(а): Раиса
Дата: 2014-01-23

Эту задачу я решила так же,как и Вы.Очень хотелось написать на форум.Но,к сожалению,не умею.Хочу научиться.У Вас замечательно. Спасибо!

Комментарий добавил(а): Катя
Дата: 2014-01-25

зачем возводить в квадрат? a^2/b^2 =R/r

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-01-26

Катя, специально в квадрат не возводила. Просто преобразовала полученное выше.

Комментарий добавил(а): Макс
Дата: 2014-02-22

Сложная задача для с4

Комментарий добавил(а): Владимир
Дата: 2014-02-28

Отличная задача, отличное решение!!!

Комментарий добавил(а): Алесей
Дата: 2014-03-13

А почему из равенства CM=CN следует равенство площадей треугольников MCA и NCA?

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-03-17

Алексей, просто вспомни, как ищется площадь треугольника.

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика