Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

14(C2). Расстояние от вершины А до сечения в правильной четырёхугольной пирамиде (вар. 58)

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с основанием ABCD
точка M - середина ребра РA, точка K - середина ребра РB.
Найдите расстояние от вершины A до плоскости CMK,
если РC = 6, AB = 4.


Сделать чертёж и построить сечение (трапецию) в данной задаче несложно.

Расстояние от вершины А до сечения в правильной четырёхугольной пирамиде (вар. 58)

МК - средняя линия треугольника АРВ, следовательно, МК || АВ. А это означает, что
АВ параллельна плоскости сечения по признаку параллельности прямой и плоскости.
Расстояние от точки А до сечения равно расстоянию от прямой АВ до сечения, а оно,
в свою очередь, равно расстоянию от абсолютно любой точки прямой АВ до сечения.
-----------------------------------------------
В качестве такой точки удобно рассмотреть середину отрезка АВ - точку Н (АН = НВ).
Вся наша конструкция симметрична относительно плоскости НРТ, Т - середина DC.

Расстояние от вершины А до сечения в правильной четырёхугольной пирамиде (вар. 58)

Плоскость симметрии перпендикулярна сечению * и пересекаются они по прямой РТ.

C2. Расстояние от вершины А до сечения в правильной четырёхугольной пирамиде (вар. 58)

По свойству перпендикулярных плоскостей перпендикуляр, опущенный из т. Н на сечение,
попадает точно на прямую РТ, то есть найти нам надо длину именно этого перпендикуляра.
Итак, задача сводится к нахождению высоты треугольника НРТ, проведённой к стороне РТ.

C2. Расстояние от вершины А до сечения в правильной четырёхугольной пирамиде (вар. 58)

Ну а сделать это очень просто, найдя площадь треугольника двумя разными способами:





Чтобы найти искомое расстояние, обозначенное через х, надо найти PT, HT и PL.
1) PL = 0,5·РО, т.к. PL - ср. линия треугольника НРО. Найдём высоту пирамиды.
В прямоугольном треугольнике PОС: PС = 6 и ОС = 0,5·АС = 0,5·42 = 2√2.
По теореме Пифагора находим РО = √36 - 8 = √28 = 2√7. Значит, PL = √7.
-----------------------------------------------
2) НТ = ВС = АВ = 4. HL = 0,5·HO = 0,5·2 = 1, LT = HT - HL = 4 - 1 = 3.
-----------------------------------------------
3) PT найдём по теореме Пифагора из треугольника PLT: PT = √9 + 7 = 4.
================================================
Теперь можно искать высоту х, проведённую к стороне РТ треугольника PTL:
HT·PL = PT·x
4·√7 = 4·x
x = √7

Ответ: √7

* Докажем, что плоскость симметрии перпендикулярна плоскости сечения.
Плоскость сечения проходит через прямую DC, которая перпендикулярна
плоскости симметрии НРТ. (Но почему? Докажите это самостоятельно.)
По признаку перпендикулярности плоскостей плоскости перпендикулярны.

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 13253

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Раиса
Дата: 2014-01-11

Тр-кHTP оказался равнобедренным. Высоты на боковые стороны равны.Т.е.,искомое расстояние равно половине высоты пирамиды.p.s.У Вас на рис.2точки P.

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-01-11

Раиса, я и не находила боковую сторону, поэтому равнобедренность не видела. Впрочем, это частный случай. Хорошо уметь находить высоту треугольника в общем случае. Да, с точкой Р я увлеклась. Исправлю со временем, спасибо!

Комментарий добавил(а): Елена
Дата: 2014-01-11

У вас на рисунке плоскость CMKD, а по условию - CMK

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-01-11

Елена, три точки задают плоскость. Четвёртая точка на этой плоскости лежит. Построено сечение.

Комментарий добавил(а): эльвира
Дата: 2014-01-12

решала через метод координат ответ не сходится

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-01-12

Эльвира, что я могу... Ищите ошибку.

Комментарий добавил(а): Евгений
Дата: 2014-05-17

Я не понял почему на рисунке две точки P

Комментарий добавил(а): вера иванова
Дата: 2015-02-04

где будет расстояние от вершины пирамиды - точки Р до секущей плоскости?

Комментарий добавил(а): Free Games Download
Дата: 2015-10-31

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8.

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика