Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Найдите все значения параметров а и b, при которых среди корней уравнения
(a² + 2ab - b² - 7)² - (2a² - 5ab + b² + 1)(x + 7) · 5^x + tg²x = 0
есть два различных корня с равными постоянными величинами.

Абсолютная величина числа - это его модуль. Если различные числа равны по модулю,
то они противоположны. Противоположные числа х и (-х) удовлетворяют уравнению:

(a² + 2ab - b² - 7)² - (2a² - 5ab + b² + 1)(x + 7) · 5^x + tg²x = 0
(a² + 2ab - b² - 7)² - (2a² - 5ab + b² + 1)(-x + 7) · 5^-x + tg²(-x) = 0

Крайние слагаемые в этих равенствах равны. Вычтем из первого равенства второе:

-(2a² - 5ab + b² + 1)(x + 7) · 5^x + (2a² - 5ab + b² + 1)(-x + 7) · 5^-x = 0

Т.к. соблюдаются первые два равенства, то должно выполняться и последнее.

(2a² - 5ab + b² + 1)(x + 7) · 5^x + (2a² - 5ab + b² + 1)(x - 7) · 5^-x = 0

Общий коэффициент обозначим через k и вынесем его за скобку:

k(x + 7) · 5^x + k(x - 7) · 5^-x = 0
k((x + 7) · 5^x + (x - 7) · 5^-x) = 0

Есть два варианта - либо k = 0, либо равно нулю выражение в скобках:

(x + 7) · 5^x + (x - 7) · 5^-x = 0

Умножим обе части последнего уравнения на 5^x и перегруппируем слагаемые.

(x + 7) · 25^x + (x - 7) = 0
(x + 7) · 25^x = -х + 7



Число 0 является корнем уравнения. При х > 0 показательная функция слева
возрастает, а правая часть убывает. Следовательно, положительных корней
уравнение иметь не может. Значит, различных противоположных корней тоже.
Но остаётся вариант k = 0.

2a² - 5ab + b² + 1 = 0. Как же решать уравнение с двумя переменными?
Взглянем сначала, во что превратится исходное уравнение при k = 0:

(a² + 2ab - b² - 7)² + tg²x = 0

Если первое слагаемое отлично от нуля, то корней у уравнения нет вовсе.
Остаётся один шанс : a² + 2ab - b² - 7 = 0. Попробуем решить систему:



Умножим первое уравнение на семь:



Сложив уравнения, получим однородное уравнение второй степени:

15a² - 33ab + 6b² = 0
5a² - 11ab + 2b² = 0

Если b = 0, то а = 0. Но пара (0; 0) системе не удовлетворяет.
Поделим уравнение на b² ≠ 0 и решим квадратное уравнение:







             

              

           

Подставим в уравнение 2a² - 5ab + b² + 1 = 0 сначала a = 2b, получим:

8b² - 10b² + b² + 1 = 0
b² = 1
b = ±1
Если b = 1, то а = 2. Если b = -1, то а = -2.

Подставим в уравнение 2a² - 5ab + b² + 1 = 0 теперь b = 5а, получим:

2а² - 25а² + 25а² + 1 = 0
2а² = -1
Это уравнение решений не имеет.

Пары (2; 1) и (-2; -1) следует проверить. Уравнение принимает такой вид: tg²x = 0.
Противоположными корнями этого уравнения являются, например, числа 7π и -7π.

Ответ: (2; 1) и (-2; -1)

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 6575