Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

18(C5). Два различных корня с равными постоянными величинами (вар. 58)


Найдите все значения параметров а и b, при которых среди корней уравнения
(a2 + 2ab - b2 - 7)2 - (2a2 - 5ab + b2 + 1)(x + 7) · 5x + tg2x = 0
есть два различных корня с равными постоянными величинами.


Абсолютная величина числа - это его модуль. Если различные числа равны по модулю,
то они противоположны. Противоположные числа х и (-х) удовлетворяют уравнению:

(a2 + 2ab - b2 - 7)2 - (2a2 - 5ab + b2 + 1)(x + 7) · 5x + tg2x = 0
(a2 + 2ab - b2 - 7)2 - (2a2 - 5ab + b2 + 1)(-x + 7) · 5-x + tg2(-x) = 0

Крайние слагаемые в этих равенствах равны. Вычтем из первого равенства второе:

-(2a2 - 5ab + b2 + 1)(x + 7) · 5x + (2a2 - 5ab + b2 + 1)(-x + 7) · 5-x = 0

Т.к. соблюдаются первые два равенства, то должно выполняться и последнее.

(2a2 - 5ab + b2 + 1)(x + 7) · 5x + (2a2 - 5ab + b2 + 1)(x - 7) · 5-x = 0

Общий коэффициент обозначим через k и вынесем его за скобку:

k(x + 7) · 5x + k(x - 7) · 5-x = 0
k((x + 7) · 5x + (x - 7) · 5-x) = 0

Есть два варианта - либо k = 0, либо равно нулю выражение в скобках:

(x + 7) · 5x + (x - 7) · 5-x = 0

Умножим обе части последнего уравнения на 5x и перегруппируем слагаемые.

(x + 7) · 25x + (x - 7) = 0
(x + 7) · 25x = -х + 7



Число 0 является корнем уравнения. При х > 0 показательная функция слева
возрастает, а правая часть убывает. Следовательно, положительных корней
уравнение иметь не может. Значит, различных противоположных корней тоже.
Но остаётся вариант k = 0.

2a2 - 5ab + b2 + 1 = 0. Как же решать уравнение с двумя переменными?
Взглянем сначала, во что превратится исходное уравнение при k = 0:

(a2 + 2ab - b2 - 7)2 + tg2x = 0

Если первое слагаемое отлично от нуля, то корней у уравнения нет вовсе.
Остаётся один шанс : a2 + 2ab - b2 - 7 = 0. Попробуем решить систему:



Умножим первое уравнение на семь:



Сложив уравнения, получим однородное уравнение второй степени:

15a2 - 33ab + 6b2 = 0
5a2 - 11ab + 2b2 = 0

Если b = 0, то а = 0. Но пара (0; 0) системе не удовлетворяет.
Поделим уравнение на b2 ≠ 0 и решим квадратное уравнение:







             

              

           

Подставим в уравнение 2a2 - 5ab + b2 + 1 = 0 сначала a = 2b, получим:

8b2 - 10b2 + b2 + 1 = 0
b2 = 1
b = ±1
Если b = 1, то а = 2. Если b = -1, то а = -2.

Подставим в уравнение 2a2 - 5ab + b2 + 1 = 0 теперь b = 5а, получим:

2 - 25а2 + 25а2 + 1 = 0
2 = -1
Это уравнение решений не имеет.

Пары (2; 1) и (-2; -1) следует проверить. Уравнение принимает такой вид: tg2x = 0.
Противоположными корнями этого уравнения являются, например, числа и -7π.

Ответ: (2; 1) и (-2; -1)


Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 4400

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-01-12

Оксана, это уже поправленное условие, оно верное.

Комментарий добавил(а): Раиса
Дата: 2014-01-11

Ур-ние имеет два противоположных корня только в случае,если оно станет вида тангенсХ=О. Следовательно,два первых коэф.равны нулю.Дальше решаем систему,как у Вас.

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-01-11

Раиса, нет. Вы не правы.

Комментарий добавил(а): Оксана
Дата: 2014-01-11

в условии (х-7)

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика