Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). Окружность делит стороны треугольника на равные части (вар. 58)

В окружность радиуса R вписан треугольник АВС. Вторая окружность радиуса r,
концентрическая с первой, касается одной стороны треугольника и делит
каждую из двух других сторон на три равные части.
а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
б) Найдите r:R.


Доказательство. Способ 1.

C4. Окружность делит стороны треугольника на равные части (вар. 58)

Идея доказательства состоит в том, что четырёхугольник FHTP вписан в окружность.
Если четырёхугольник окажется трапецией, то обязательно равнобедренной.

C4. Окружность делит стороны треугольника на равные части (вар. 58)

HT || FP по очень простой причине: HT - средняя линия треугольника FBP.



Вписанная в окружность трапеция является равнобедренной, FH = PT.
FH и PT составляют трети сторон АВ и СВ. Следовательно, АВ = СВ.

Доказательство. Способ 2.



Т.к. точка О является центром описанной около треугольника АВС окружности,
то она лежит на серединном перпендикуляре к АС, D - середина АС, ОD ⊥ АС.
Вторая окружность с тем же центром О касается АС в точке D, ОD - её радиус.

По свойству секущих и касательных, проведённых из одной точки А, имеем:
AD2 = AF · AH или а2 = х · (2х) = 2х2, где х = AF, a = AD.
По свойству секущих и касательных, проведённых из одной точки C, имеем:
CD2 = CP · CT или а2 = y · (2y) = 2y2, где y = CP, a = CD.
Отсюда x = y, а значит, АВ = АС. Кроме того, мы получили, что а = х√2.
====================================
В равнобедренном треугольнике АВС точка О лежит на высоте (медиане) АD.
В прямоугольном треугольнике АВD стороны АD = х√2, АВ = 3х, ВD = х√7.



Заметьте! В треугольнике АВD мы сможем найти любой острый угол.
От нас требуется найти r:R, а это то же самое, что косинус угла AOD.



Угол AOD - центральный и равен величине дуги, на которую опирается.

C4. Окружность делит стороны треугольника на равные части (вар. 58)

Угол AВD - вписанный, и он в два раза меньше той же самой дуги.
Пусть ∠AВD = α, тогда ∠AОD = 2α. Найдём cos2α = cos2α - sin2α.
Вернёмся к треугольнику АВD (см. выше), чтобы найти sinα и cosα.

            

И наконец, ищем косинус двойного угла (а значит, нужное отношение):

{R}=cos{(2\alpha)}=cos^2{\alpha}-sin^2{\alpha}=\frac{7}{9}-\frac{2}{9}=\frac{5}{9}'>

Ответ: 5:9

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 7326

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Екатерина
Дата: 2014-01-12

Спасибо огромное! Очень красиво и понятно!

Комментарий добавил(а): Татьяна
Дата: 2014-01-12

Спасибо! Маленькая опечатка. В треугольнике ABD, AB=3x, BD=x√7

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-01-12

Татьяна, спасибо, исправила!

Комментарий добавил(а): Марина
Дата: 2016-01-09

Спасибо!Гармонично, ясно, красиво!!!

Комментарий добавил(а): Deweydooms
Дата: 2017-06-22

If you have a desire to learn how to earn from $ 500 per day and work only for yourself, then write to us at email: admin@makemoneyonline.universalxyzdom.xyz

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика