Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

В окружность радиуса R вписан треугольник АВС. Вторая окружность радиуса r,
концентрическая с первой, касается одной стороны треугольника и делит
каждую из двух других сторон на три равные части.
а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
б) Найдите r:R.

Доказательство. Способ 1.



Идея доказательства состоит в том, что четырёхугольник FHTP вписан в окружность.
Если четырёхугольник окажется трапецией, то обязательно равнобедренной.



HT || FP по очень простой причине: HT - средняя линия треугольника FBP.



Вписанная в окружность трапеция является равнобедренной, FH = PT.
FH и PT составляют трети сторон АВ и СВ. Следовательно, АВ = СВ.

Доказательство. Способ 2.



Т.к. точка О является центром описанной около треугольника АВС окружности,
то она лежит на серединном перпендикуляре к АС, D - середина АС, ОD ⊥ АС.
Вторая окружность с тем же центром О касается АС в точке D, ОD - её радиус.

По свойству секущих и касательных, проведённых из одной точки А, имеем:
AD² = AF · AH или а² = х · (2х) = 2х², где х = AF, a = AD.
По свойству секущих и касательных, проведённых из одной точки C, имеем:
CD² = CP · CT или а² = y · (2y) = 2y², где y = CP, a = CD.
Отсюда x = y, а значит, АВ = АС. Кроме того, мы получили, что а = х√2.
====================================
В равнобедренном треугольнике АВС точка О лежит на высоте (медиане) АD.
В прямоугольном треугольнике АВD стороны АD = х√2, АВ = 3х, ВD = х√7.



Заметьте! В треугольнике АВD мы сможем найти любой острый угол.
От нас требуется найти r:R, а это то же самое, что косинус угла AOD.



Угол AOD - центральный и равен величине дуги, на которую опирается.



Угол AВD - вписанный, и он в два раза меньше той же самой дуги.
Пусть ∠AВD = α, тогда ∠AОD = 2α. Найдём cos2α = cos²α - sin²α.
Вернёмся к треугольнику АВD (см. выше), чтобы найти sinα и cosα.

            

И наконец, ищем косинус двойного угла (а значит, нужное отношение):

{R}=cos{(2\alpha)}=cos^2{\alpha}-sin^2{\alpha}=\frac{7}{9}-\frac{2}{9}=\frac{5}{9}'>

Ответ: 5:9

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 10931