Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

19(C6). Возрастающая последовательность натуральных чисел и поиск сотого её члена (вар. 56)

а1, а2, а3 - возрастающая последовательность натуральных чисел.
Известно, что ааk = 3k для любого k. Найти
а) а100;
б) а1983.


Первый уровень рассуждений.
Понять бы, как устроена последовательность, ни один член которой не задан явно.
Равенство аа1 = 3·1 = 3 выполняется всегда. Номер этого члена а1 не больше трёх.
Иначе говоря, тройка в такой последовательности имеет номер один, два или три.
Если а1 = 3, то а3 = 3·1 = 3. Если а3 = 3, то а3 = 3·3 = 9. Оба случая невозможны.
Итак, тройка имеет в последовательности номер два. Поищем остальные её члены.
============================================
Если а1 = 1, то а1 = 3·1 = 3 Но 3 ≠ 1. Случай невозможен. Значит, а1 = 2.
а2 = 3,     а3 = аа2 = 3·2 = 6,     а6 = аа3 = 3·3 = 9,     а9 = аа6 = 3·6 = 18.
Т.к. последовательность возрастает, то восстанавливаем: а4 = 7,  а5 = 8.
Идём вперёд: а7 = аа4 = 3·4 = 12,    а8 = аа5 = 3·5 = 15,    а12 = 3·7 = 21.
И снова восстанавливаем пропущенные: а10 = 19,  а11 = 20. Итак, имеем:
2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18, 19, 20, 21 - найдены первые двенадцать чисел.
============================================
Второй уровень рассуждений.
Удобнее было бы искать не сотый, а девяносто девятый член последовательности.
Для этого узнаем, под каким номером в последовательности стоит само число 99.
А оно стоит под номером, который равен, в свою очередь, а33 , так как 99:3 = 33.
Ну а для того, чтобы найти а33, надо (рассуждая аналогично) найти а11. Поехали:
а11 = 20
а20 = 3·11 = 33
а33 = 3·20 = 60
а60 = 3·33 = 99
а99 = 3·60 = 180
До сотого числа мы немного недопрыгали, поэтому начнём теперь с двенадцатого:
а12 = 21
а21 = 3·12 = 36
а36 = 3·21 = 63
а63 = 3·36 = 108
а108 = 3·63 = 189
Пропущенные члены нашей последовательности восстанавливаются однозначно:
180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189. Найден не только сотый, но и...
============================================
Третий уровень рассуждений.
Теперь, чтобы добраться до а1983, надо придумать более эффективный способ.
Заметим, что если аn = p, то аp = 3n и а3n = 3p. Отсюда получаем: а3n = 3·аn.
Из этого равенства сразу следует, что а1983 = 3·а661. Будем искать а661.

Т.к. а1 = 2, то а3 = 3·а1 = 3·2, а9 = 3·а3 = 3·3·2, а27 = 3·а9 = 3·3·3·2 = 27·2
Рассуждая аналогично, мы можем найти а81 = 81·2   и   а243 = 243·2 = 486.

Проделаем такой же путь, начиная со второго члена, а2 = 3 (и это хорошо).
а6 = 3·а2 = 3·3, а18 = а2·32 = 3·а6 = 3·3·3 = 33, а54 = а2·33 = 3·3·3·3 = 34.
Рассуждая аналогично, находим   а2·243 = а2·35 = а486 = а2·35 = 36 = 729.
============================================
Итак, у нас есть а243 = 486 и а486 = 729. Заметим, что 729 - 486 = 243.
Последовательность между числами под номерами 243 и 486 выглядит так:
а243 = 486
а244 = 487
а245 = 488
а246 = 489
...
а484 = 727
а485 = 728
а486 = 729
Эта арифметическая прогрессия задаётся простой формулой аn = n + 243
В этой прогрессии есть все числа от 487 до 661. Дальше действуем так:
а487 = аа244 = 3·244 = 3·(487 - 243)
а488 = аа245 = 3·245 = 3·(488 - 243)
а489 = аа246 = 3·246 = 3·(489 - 243)
...
а661 = 3·(661 - 243) = 3·418 = 1254

Наша эпопея подходит к завершению: а1983 = 3·а661 = 3·1254 = 3762.

Ответ: а) 181; б) 3762.

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 4926

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): ilc
Дата: 2014-01-04

Здравствуйте! Не подскажете, почему теперь выкладываются 2-3 задания? Раньше ведь и часть В была. Мне она не интересна. А вот C1, C2, C3 я с удовольствием решаю. Ваши методы мне очень нравятся. Стоит ли ждать в следующих вариантах больше решений из части С? Спасибо.

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2014-01-05

По вдохновению выкладываются задания. Что интересно решать, то и решаю)) Будет, конечно, группа С. Время для группы В уже почти прошло.

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика