Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). Найти площадь треугольника, вписанного в окружность (вар. 55)

В треугольнике АВС точка О - центр описанной окружности, точка R лежит на отрезке ВС
и BR = RC. Описанная около треугольника BRO окружность пересекает АВ в точке Т.
Известно, что угол BOR равен 30 градусов, RT = 8, BT = 6.
а) Докажите, что  TR || AC.
б) Найдите площадь треугольника АВС.


Прежде всего опишем окружность вокруг треугольника АВС. При этом заметим,
что центром окружности О является точка пересечения серединных
перпендикуляров, проведённых к сторонам треугольника.

Найти площадь треугольника, вписанного в окружность (вар. 55)

Точка R, о которой идёт речь в условие, является основанием одного из них.

Найти площадь треугольника, вписанного в окружность (вар. 55)

Треугольник BRO, таким образом, является прямоугольным. Центр F окружности,
описанной около треугольника BRO, лежит на середине его гипотенузы OB.
Вписанный угол OТB является прямым. Но перпендикуляр, проведённый
из точки O на АB, - серединный перпендикуляр. Значит, Т - середина АВ.

Найти площадь треугольника, вписанного в окружность (вар. 55)

Отрезок, соединяющий середины сторон треугольника, является его средней линией.
По свойству средней линии она параллельна третьей стороне, т.е. TR || AC, ч.т.д.

Угол BOR, равный по условию 30°, является половиной центрального угла BOС.

C4. Найти площадь треугольника, вписанного в окружность (вар. 55)

Вписанный угол BАС опирается на ту же дугу, что и центральный угол BOС,
и равен половине дуги, на которую опирается. Значит, ∠BАС = ∠ВOR = 30°.



Найдём стороны треугольника АВС: АВ = 2·ВТ = 12, АС = 2·TR = 16.

C4. Найти площадь треугольника, вписанного в окружность (вар. 55)

Найдём теперь площадь треугольника АВС: S = 0,5·AB·AC·sin30° = 48.

Ответ: 48

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 8638

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Наталья
Дата: 2013-12-20

Красивое решение!

Комментарий добавил(а): Денис
Дата: 2013-12-22

Согласен

Комментарий добавил(а): Максим
Дата: 2013-12-23

Очень простенькое красивой решение! Спасибо!

Комментарий добавил(а): Аноним
Дата: 2013-12-28

Ещё красивее было бы, если сначала найти площадь BTR как 0.5BT*TR*sinBTR, а затем через подобие найти S(ABC)=4S(BTR).

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика