Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). Медианы треугольника, середины отрезков и площадь шестиугольника (12.12.2013)

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M.
Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.


Чертёж к задаче сделать нетрудно. Изобразим медианы и середины нужных отрезков.

Медианы треугольника, середины отрезков и площадь шестиугольника (12.12.2013)

Но прежде чем рисовать шестиугольник, обратим внимание сразу на треугольник А2В2С2.

Медианы треугольника, середины отрезков и площадь шестиугольника (12.12.2013)

Его площадь равна четверти от площади треугольника АВС. Докажем этот очевидный факт.
А2С2 средняя линия треугольника АМС. Треугольники АМС и А2МС2 подобны с k = 2.

C4. Медианы треугольника, середины отрезков и площадь шестиугольника (12.12.2013)

Значит, площадь треугольника А2МС2 в 4 раза меньше площади треугольника АМС.
Аналогично рассматриваем треугольники А2МВ2 и В2МС2. Итак, SABC = 4·SА2В2С2.



Треугольник А2В2С2 составляет только часть шестиугольника A1B2C1A2B1C2.
Рассмотрим теперь треугольник А2В1С2 - один из трёх отрезанных "уголков".



Его площадь составляет также одну четверть от площади треугольника АМС.
Для этого заметим, что треугольники А2В1С2 и А2МС2 равны по трём сторонам.
Вместе площади А2В1С2, А2С1В2 и В2А1С2 составляют 0,25 от площади АВС.



Сумма площадей А2В2С2, А2В1С2, А2С1В2 и В2А1С2 составляет 0,5 от площади АВС.



Пусть в треугольнике АВС а = ВС, b = AC, c = АC, стороны шестиугольника x, y, z.
Для поиска суммы квадратов сторон шестиугольника воспользуемся утверждением:
Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

C4. Медианы треугольника, середины отрезков и площадь шестиугольника (12.12.2013)

С1В2 - средняя линия треугольника АВМ, В1С2 - средняя линия треугольника АСМ.
Следовательно, С1В2 = В1С2 и С1В2 || В1С2, и поэтому С1В2С2В1 - параллелограмм.
Кроме того, учитывая свойства медиан, получаем, что А2М = С1В2 = В1С2 = y.
Аналогично, В2М = х и С2М = z. Кроме того, В1С1 = В2С2 = 0,5а. Наконец, имеем:
y2 + y2 + 0,25a2 + 0,25a2 = 4x2 + 4z2

C4. Медианы треугольника, середины отрезков и площадь шестиугольника (12.12.2013)

Четырёхугольник А2С1А1С2 - тоже параллелограмм. И в нём имеем аналогично:
х2 + х2 + 0,25b2 + 0,25b2 = 4y2 + 4z2



Четырёхугольник B2A1B1A2 - тоже параллелограмм. И в нём имеем аналогично:
z2 + z2 + 0,25c2 + 0,25c2 = 4x2 + 4y2

Складывая получившиеся три равенства и преобразовывая уравнение, получим:

2 + 2y2 + 2z2 = 8х2 + 8y2 + 8z2 - 0,5a2 - 0,5b2 - 0,5c2

2 + 6y2 + 6z2 = 0,5(a2 + b2 + c2)



Ответ: 31,5

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 18922

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Наталья
Дата: 2014-01-19

Спасибо, интересное решение.Однако мы (с учеником), все же решили найти диагонали параллелограмма с использованием формулы медианы

Комментарий добавил(а): Ученик
Дата: 2016-01-18

Спасибо, решение помогло

Комментарий добавил(а): Ученик
Дата: 2016-05-10

Не могу получить правильный ответ, получается 15.75

Комментарий добавил(а): Deweydooms
Дата: 2017-06-22

If you have a desire to learn how to earn from $ 500 per day and work only for yourself, then write to us at email: admin@makemoneyonline.universalxyzdom.xyz

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика