На основании ВС трапеции ABCD взята точка Е, лежащая на одной окружности
с точками А, С и D. Другая окружность, проходящая через точки А, В и С, касается прямой CD. АВ = 12, ВЕ : ЕС = 4 : 5.
а) Докажите, что треугольник ACD подобен треугольнику АВЕ.
б) Найдите ВС.
Строим чертёж, анализируя каждое условие. Опишем окружность около треугольника АСD.
На пересечении окружности и основания ВС возникает точка Е. Зачем же она возникает?
Для того, чтобы мы увидели равнобедренную трапецию АЕСD, вписанную в окружность.
Это следует из того, что сумма противоположных углов АЕС и АDC трапеции равна 180°.
Значит, угол ВЕА, смежный с углом АЕС, равен углу АDC. Пара равных углов найдена.
Проанализируем следующее условие, опишем окружность около треугольника АВС.
По условию CD касается окружности, а значит, CD ⊥ ОС, где т. О - центр окружности.
Угол между хордой АС и касательной CD равен половине дуги АС второй окружности.
Половине этой же дуги равен вписанный угол АВС. Найдена вторая пара равных углов.Найдя две пары равных углов, мы и доказали подобие треугольников ACD и АВЕ.
Из доказанного подобия сделаем вывод о равенстве третьей пары углов, ∠ВАЕ = ∠СAD.
Кроме того, равны дуги АЕ и СD, заключённые между параллельными прямыми ЕС и АD.
Вписанный угол СAD равен половине дуги СD, а значит, угол ВАЕ равен половине дуги АЕ.
Но угол ВАЕ - это угол между хордой АЕ и прямой АВ, проходящей через конец хорды А.
Значит, прямая АВ - не просто обыкновенная прямая, а касательная ко второй окружности.
Воспользуемся свойством секущей и касательной, проведённых к окружности из точки В.
ВА2 = ВЕ · ВС
122 = (4х) · (9х)
36х2 = 144
х2 = 4
х = 2
ВС = 9х = 9 · 2 = 18
Ответ: 18 Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 9101
|