Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

18(C5). При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение (вар. 53)

Найти все значения параметра а, при которых уравнение
х - 2 = √-2(а + 2)х + 2       имеет единственное решение.


Заменим параметр, и уравнение станет выглядеть попроще.
kх + 2 = х - 2
При х ≥ 2 полученное уравнение равносильно следующему:
kx + 2 = (x - 2)2
Запишем данное квадратное уравнение в стандартном виде:
x2 - (k + 4)x + 2 = 0
Именно оно должно иметь единственное решение при х ≥ 2.
Возможны три различных варианта, которые нас устраивают:

1) Точка х = 2 находится строго между корнями уравнения.

C5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение (вар. 53)

2) х = 2 является корнем уравнения, второй корень левее.

C5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение (вар. 53)

3) Уравнение имеет единственный корень, и он не меньше 2.

C5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение (вар. 53)

1) Чтобы точка х = 2 находилась строго между корнями уравнения,
должно выполняться условие f(2) < 0, где f(x) = x2 - (k + 4)x + 2.
Получаем f(2) = 22 - (k + 4)·2 + 2 = 6 - 2(k + 4) < 0, т.е. k > -1.

2) х = 2 является корнем уравнения при k = -1. При этом уравнение
выглядит так: x2 - 3x + 2 = 0 и нас вполне устраивает (корни 1 и 2).

3) Приравняем дискриминант уравнения x2 - (k + 4)x + 2 = 0 нулю.
D = k2 + 8k + 16 - 8 = 0,        k2 + 8k + 8 = 0,        k = -4 ± 2√2.
При каждом значении k найдём единственный корень уравнения.



В каждом случае корень уравнения меньше двух, нас не устраивает.
В итоге объединяем результаты первых двух случаев: k ≥ -1.
Вернёмся к старому параметру: -2(а + 2) ≥ -1,      а ≤ -1,5

Ответ: (-∞ -1,5]

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 7146

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): антонина ЕМЕЛЬЯНОВНА
Дата: 2013-12-05

СПАСИБО ПРЕКРАСНОЕ РЕШЕНИЕ

Комментарий добавил(а): Галина
Дата: 2013-12-11

Попробуйте использовать графики функций. Будет быстрее и проще!

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2013-12-11

Галина, разумеется, я использовала всё, что можно. Способов очень много, выбрала самый изящный. Но это мой взгляд.

Комментарий добавил(а): Наталия
Дата: 2013-12-13

Больше нравится графический, но данный способ тоже хороший

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-02-25

Александр, подкоренное выражение равно квадрату, а значит... оно в безопасности. Заботиться о нём не надо.

Комментарий добавил(а): Александр
Дата: 2014-02-25

почему мы не рассматриваем подкорневое выражение больше или равно нулю? А только при x больше или равно 2.

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика