Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). Две пересекающиеся окружности и подобные треугольники (вар. 52)

Две окружности с центрами О и Q пересекаются друг с другом в точках А и В,
пересекают биссектрису угла OAQ в точках С и D соответственно.
Отрезки OQ и AD пересекаются в точке Е, причем, площади
треугольников ОАЕ и QAE равны соответственно 18 и 42.
а) Докажите, что треугольники AQO и BDС подобны.
б) Найдите площадь четырехугольника OAQD.


Прежде чем приступить к пункту а), отсечём лишнее и переформулируем задачу:

Две окружности с центрами О и Q пересекаются друг с другом в точках А и В,
пересекают биссектрису угла OAQ в точках С и D соответственно.
а) Докажите, что треугольники AQO и BDС подобны.


Две пересекающиеся окружности и подобные треугольники (вар. 52)

Треугольники OAQ и OВQ равны по трём сторонам. Значит, равны соответствующие
углы: ∠AQО = ∠ВQО и ∠AОQ = ∠ВОQ (и смежные с ними углы: ∠AОК = ∠ВОК).



Угол AQО равен половине центрального угла АQВ или половине дуги АВ.
С другой стороны, вписанный угол ВDC тоже равен половине этой дуги.

Две пересекающиеся окружности и подобные треугольники (вар. 52)

Подберёмся ко второй паре равных углов (О и С) в данных треугольниках,
рассмотрим смежные с ними углы АОК и АСВ. ∠АОК центральный и равен
половине дуги АКВ. ∠АСВ вписанный и равен половине этой же дуги.

C4. Две пересекающиеся окружности и подобные треугольники (вар. 52)

Таким образом, треугольники AQO и BDС подобны по двум углам.



Найдём площадь четырехугольника OAQD, если SОАЕ = 18 и SQAE = 42.
AD - биссектриса угла А. По свойству биссектрисы ОА : QА = ОЕ : QE.



SОАЕ : SQAE = ОЕ : QE = 3 : 7. Поэтому ОА : QА = 3 : 7, т.е. r : R = 3 : 7.
Треугольник AQD равнобедренный, следовательно, ∠1 = ∠2 = ∠3.



Треугольники ОАЕ и QDE подобны по двум углам. Найдём площадь QDE.



Так как SОАЕ : SQDE = r2 : R2 = 9 : 49 и по условию SОАЕ = 42, то SQDE = 98.

C4. Две пересекающиеся окружности и подобные треугольники (вар. 52)

SОDЕ : SQDE = ОЕ : QE = 3 : 7. Так как SQDЕ = 98, то SODE = 42.

C4. Две пересекающиеся окружности и подобные треугольники (вар. 52)

В результате найдены площади четырёх треугольников, сложим их.

C4. Две пересекающиеся окружности и подобные треугольники (вар. 52)

Ответ: 200

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 8158

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): наталия
Дата: 2013-12-10

Спасибо за интересное решение

Комментарий добавил(а): Алексей
Дата: 2013-12-10

Большое спасибо за решение

Комментарий добавил(а): Людмила
Дата: 2013-12-10

Спасибо!!!!!!!!!!!!!

Комментарий добавил(а): Раиса
Дата: 2013-12-13

спасибо, сама бы не справилась

Комментарий добавил(а): Ирина
Дата: 2013-12-29

Спасибо! Красивое решение!

Комментарий добавил(а): ирина
Дата: 2014-01-20

спасибо за помощь

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика