Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Найти все значения параметра р, при которых множество решений неравенства
(p - х²)(p + x - 2) < 0 не содержит ни одного решения неравенства x² ≤ 1.

Изобразим в плоскости XOP точки, удовлетворяющие уравнению (p - х²)(p + x - 2) = 0.



Точки, удовлетворяющие данному неравенству, изображаются закрашенными областями.



Если Вы сталкиваетесь с этим впервые, поясню. Произведение двух множителей отрицательно,
если они имеют разные знаки. Должны одновременно выполняться условия (две системы):
1) p < х²          и          p > 2 - x          или
2) p > х²          и          p < 2 - x.
Первая область закрашена зелёным цветом, их две. Вторая закрашена бежевым цветом.
p < х² - область под параболой, p > х² - над параболой.
p > 2 - x - область над прямой, p < 2 - x - под прямой.

Эта замечательная картинка помогает решать исходное неравенство для любого р.
Отступлю от вопроса задачи и продемонстрирую, что имеется в виду.



Картинка 1. р = -1. Здесь х принадлежит лучу (3; +∞).
Картинка 2. р = 0,5. Здесь -√0,5 < х < √0,5 или х > 1,5.
Картинка 3. р = 3. Здесь -√3 < х < -1 или х > √3.
Картинка 4. р = 5. Здесь -3 < х < -√5 или х > √5.

Таким образом, мы можем искать решение неравенства для произвольного значения р.
Вернёмся к условию. Решения неравенства не должны содержать точки синей полосы.



Красная прямая не может пересекать мутно-голубую область
(пересечение синей полосы и бежевой области).



Очевидно, что р ≤ 0 или р ≥ 3. При этом сами точки 0 и 3 требуют отдельного внимания.
В силу строгости данного неравенства они нас устраивают тоже.

Ответ: (-∞; 0]; [3; +∞)

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 10127