18(C5). Координатно-параметрический способ решения неравенства (вар. 50)
Найти все значения параметра р, при которых множество решений неравенства
(p - х2)(p + x - 2) < 0 не содержит ни одного решения неравенства x2 ≤ 1.
Изобразим в плоскости XOP точки, удовлетворяющие уравнению (p - х2)(p + x - 2) = 0.
Точки, удовлетворяющие данному неравенству, изображаются закрашенными областями.
Если Вы сталкиваетесь с этим впервые, поясню. Произведение двух множителей отрицательно,
если они имеют разные знаки. Должны одновременно выполняться условия (две системы):
1) p < х2 и p > 2 - x или
2) p > х2 и p < 2 - x.
Первая область закрашена зелёным цветом, их две. Вторая закрашена бежевым цветом.
p < х2 - область под параболой, p > х2 - над параболой.
p > 2 - x - область над прямой, p < 2 - x - под прямой.
Эта замечательная картинка помогает решать исходное неравенство для любого р.Отступлю от вопроса задачи и продемонстрирую, что имеется в виду.
Картинка 1. р = -1. Здесь х принадлежит лучу (3; +∞).
Картинка 2. р = 0,5. Здесь -√0,5 < х < √0,5 или х > 1,5.
Картинка 3. р = 3. Здесь -√3 < х < -1 или х > √3.
Картинка 4. р = 5. Здесь -3 < х < -√5 или х > √5.
Таким образом, мы можем искать решение неравенства для произвольного значения р.
Вернёмся к условию. Решения неравенства не должны содержать точки синей полосы.
Красная прямая не может пересекать мутно-голубую область (пересечение синей полосы и бежевой области).
Очевидно, что р ≤ 0 или р ≥ 3. При этом сами точки 0 и 3 требуют отдельного внимания.
В силу строгости данного неравенства они нас устраивают тоже.Ответ: (-∞; 0]; [3; +∞)