В выпуклом четырехугольнике KLMN точки А, В, С, D – средины сторон KL, LM, MN, NK
соответственно. Известно, что KL = 3. Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Площади четырехугольников KAOD, LAOB и NDOC равны соответственно 6, 6 и 9.
а) Докажите, что площади четырехугольников MCOB и NDOC равны
б) Найдите длину отрезка MN
Остановимся на первой фразе и рассмотрим стандартную ситуацию - середины сторон произвольного четырёхугольника всегда являются вершинами параллелограмма.
Нам важен этот факт и факт равенства площадей четырёхугольников KAOD и LAOB.
Каждый четырёхугольник состоит из двух треугольников. Площади треугольников АВО, ADO равны, т.к. АО - медиана треугольника AВD (ВО = ОD).
Следовательно, равны площади треугольников ALB и AKD. У этих треугольников
равны основания AL и AK, а значит, и высоты, проведённые к этим основаниям.
Расстояния от точек К и L до прямой BD равны, отсюда следует, что KL || BD.
Если через точку М провести прямую МР, параллельную прямым KL и BD, то отрезки KD и DР окажутся равными по теореме Фалеса. Поэтому точка Р совпадёт с точкой N и MN || KL || BD. Следовательно, SBMC = SDNC.
А учитывая, что SBОC = SDОC, получаем равенство площадей MCOB и NDOC.
Для ответа на второй вопрос уберём лишнее и оставим лишь трапецию KLMN и её среднюю линию ВD. Известно, что SKLBD = 12, SDBMN = 18 и KL = 3.
Обозначим BD = x и MN = y. Высоты двух трапеций на рисунке равны, поэтому площади трапеций пропорциональны суммам их оснований. Запишем это:
Кроме того, верно равенство 2х = y + 3, т.к. ВD - средняя линия трапеции KLMN.
Подставим в это равенство x = 2y - 9 и получим 2(2y - 9) = y + 3. Отсюда y = 7.Ответ: 7 Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 14129
|