12(B13). Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы (вар. 48)
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √27, а высота равна 1.
Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы состоит из площадей шести равных прямоугольников - боковых граней призмы: Sбок. = 6 · Sпрямоуг.
Одна из сторон прямоугольника равна высоте вписанного цилиндра и дана по условию.
Вторую сторону требуется найти. Иначе говоря, нам надо найти сторону шестиугольника.
Дан радиус вписанного цилиндра, т.е. радиус вписанной в шестиугольник окружности.
Диаметр этой окружности можно изобразить по-разному. Удобнее иметь дело с отрезком АВ.
Треугольник АВР - равнобедренный (РВ = РА) с углом при вершине 120°. Основание в таком треугольнике в √3 раз больше боковой стороны, что полезно знать.
Для подтверждения этого факта можно использовать теорему косинусов для стороны АВ:
АВ2 = а2 + а2 - 2 · а · а · cos120°АВ2 = 2а2 - 2а2 · (-0,5)АВ2 = 2а2 + а2АВ2 = 3а2AB = a√3
2√27 = a√3
6√3 = a√3
a = 6
Таким образом, одна сторона прямоугольника равна шести, вторая сторона равна единице.
Площадь боковой грани равна 6 · 1 = 6, площадь боковой поверхности равна 6 · 6 = 36.Ответ: 36