8. Площадь боковой поверхности треугольной пирамиды (вар. 48)
В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра АВ, S - вершина. Известно, что SR = 6, а площадь боковой поверхности равна 36. Найдите длину отрезка BC.
Сделаем чертёж. В правильной пирамиде боковые грани - равнобедренные треугольники.
Отрезок SR - медиана, опущенная на основание, а значит, и высота боковой грани.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна сумме площадей трёх равных боковых граней Sбок. = 3 · SABS. Отсюда SABS = 36 : 3 = 12 - площадь грани.
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту SABS = 0,5 · AB · SR. Зная площадь и высоту, найдём сторону основания АВ = ВС.
12 = 0,5 · АВ · 612 = 3 · АВАВ = 4Ответ: 4
Можно подойти к задаче и с другого конца. Пусть сторона основания АВ = ВС = а.
Тогда площадь грани SABS = 0,5 · AB · SR = 0,5 · а · 6 = 3а.
Площадь каждой из трёх граней равна 3а, площадь трёх граней равна 9а.
По условию задачи площадь боковой поверхности пирамиды равна 36. Sбок. = 9а = 36. Отсюда а = 4.