Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Сторона правильного треугольника равна √3. Найдите радиус окружности,
описанной около этого треугольника.

Способ 1 (для обладающих абсолютной памятью и не желающих вникать в происходящее).
Выучить наизусть все формулы, которые связывают стороны, радиусы вписанных и описанных
окружностей правильных многоугольников, в том числе восьмиугольников и девятиугольников.

Способ 2 (самый лучший и короткий).
Треугольник АОВ - равнобедренный с углом при вершине, равным 120° (360° : 3 = 120°).
В таком треугольнике основание (оно дано) больше боковой стороны (радиуса) в √3 раз.



Этот факт легко подтверждается с помощью теоремы косинусов, записанной для стороны АВ.

АВ² = R² + R² - 2·R·R·cos120°
АВ² = 2R² - 2R²·(-0,5)
АВ² = 2R² + R²
АВ² = 3R²
АВ = R√3
√3 = R√3
R = 1

Способ 3 (универсальный для правильных треугольников).
Продлим отрезок СО до пересечения с АВ в точке Е. СЕ - высота треугольника АВС.



Рассмотрим прямоугольный треугольник АОЕ с углом 30° и катетом АЕ = 0,5·АВ.
Мы воспользовались тем, что СЕ - медиана треугольника и АО - биссектриса.
По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника:







Ответ: 1

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 143976