Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

18(C5). При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение (вар. 46)

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
x|x + 2a| + 1 - a = 0 имеет единственное решение.


Раскроем модуль на двух лучах.
Если x < -2a, то x2 + 2ax + (a - 1) = 0.
Если x ≥ -2a, то x2 + 2ax + (1 - a) = 0.
Дискриминант первого уравнения положителен всегда, уравнение имеет два корня.
Возможны следующие случаи расположения параболы относительно точки х = -2а:

C5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение (вар. 46)       C5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение (вар. 46)       C5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение (вар. 46)

В первом случае на левом луче есть уже два корня, этот случай нам неинтересен.

Необходимым для расположения корней правее -2а является условие f(-2a) > 0.
f(-2a) = (-2a)2 + 2a(-2a) + (a - 1) = а - 1 > 0; a > 1 При этом первая координата
вершины параболы    расположена правее точки  -2а.  Вот наш второй случай:

C5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение (вар. 46)

Рассмотрим второе уравнение и обозначим его левую часть g(x). Заметим, что
g(-2а) = (-2a)2 + 2a(-2a) + (1 - а) = 1 - а < 0 при a > 1.   Заметим к тому же,
что первые координаты вершин обеих парабол совпадают. Новый рисунок:

C5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение (вар. 46)

Очевидно, что второе уравнение имеет единственный корень на правом луче.
Итак, при a > 1 условие задачи выполнено. Второй случай нами рассмотрен.

Для третьего случая необходимо условие f(-2a) < 0, т.е. a < 1. Разобьём его
на два:  1) a < 0 и 2) 0 < a < 1.  Первая координата вершины обеих парабол
х = -а при a < 0 расположена левее точки х = -2а, а при 0 < a < 1 - правее.

C5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение (вар. 46)   C5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение (вар. 46)

Т.к. f(-2a) < 0, то g(-2a) > 0. В первом подслучае (-а < -2a) второе уравнение
не имеет корней на правом луче (или совсем их не имеет), что нас устраивает.

C5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение (вар. 46)   C5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение (вар. 46)

Во втором подслучае (-а > -2a), учитывая, что g(-2a) > 0, потребуем, чтобы
второе уравнение не имело корней вовсе, иначе условие не выполнится.

C5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение (вар. 46)





Так как 0 < a < 1, то получаем в пересечении



Добавим к этому интервалу два полученных выше луча a < 0 и а >1
и проверим отдельно два пропущенных значения а - ноль и единицу.

Если а = 0, то уравнение x|x| + 1 = 0 имеет единственный корень -1.
Если а = 1, то уравнение x|x + 2| = 0 имеет два корня -2 и 0.

Ответ:

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 8571

Комментарии к этой задаче:

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика