Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

8. Объём правильной шестиугольной пирамиды и поиск бокового ребра (вар. 46)

Объём правильной шестиугольной пирамиды равен 6. Сторона основания равна 1.
Найдите боковое ребро.

Объём пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту. План решения:
1) Зная сторону правильного шестиугольника, найдём его площадь.
2) Зная площадь основания и объём пирамиды, найдём её высоту.
3) Зная высоту и сторону основания, найдём боковое ребро.
Таков план решения. Приступаем к его осуществлению.
1) Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников. Найдём площадь каждого.

B9. Объём правильной шестиугольной пирамиды и поиск бокового ребра

Площадь равностороннего треугольника можно найти, например, так: S = 0,5·a·a·sin60° = 0,25·a²·√3.

$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$S=\frac{1^2\sqrt{3}}{4}$

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}$

$S=0,25\sqrt{3}$

Таким образом, площадь правильного шестиугольника S = 6·0,25√3 = 1,5√3.

2) Теперь найдём высоту пирамиды, зная объём и площадь основания.

$V = {\frac{1}{3}}\cdot{S_{osn.}}\cdot{H}$

$6 = {\frac{1}{3}}\cdot{\frac{3}{2}}\cdot{\sqrt{3}}\cdot{H}$

$6 = {\frac{1}{2}}\cdot{\sqrt{3}}\cdot{H}$

$12 = {\sqrt{3}}\cdot{H}$

$12\sqrt{3} = {\sqrt{3}}\cdot{\sqrt{3}}\cdot{H}$

$12\sqrt{3} = 3\cdot{H}$

$H=4\sqrt{3}$

3) Найдём боковое ребро из прямоугольного треугольника PSD по теореме Пифагора,
зная катет PD (равный стороне основания) и катет SP (высоту пирамиды).

B9. Объём правильной шестиугольной пирамиды и поиск бокового ребра

$SD^2=PD^2+PS^2$

$SD^2=1+(4\sqrt{3})^2$

$SD^2=1+48$

$SD^2=49$

$SD=7$

Ответ: 7