Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Дробно-рациональное и иррациональное неравенства (вар. 45)

Решите систему неравенств

$\left\{ \begin{eqnarray} \frac{1}{x^2-4x+3}>\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2} \\ {\frac{\sqrt{x^2-5x+8}}{3-x}}\geq{1} \end{eqnarray}$

Решим первое неравенство:

$\frac{1}{x^2-4x+3}>\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}$

$\frac{1}{(x-1)(x-3)}>\frac{(x-2)-(x-3)}{(x-2)(x-3)}$

$\frac{1}{(x-1)(x-3)}>\frac{1}{(x-2)(x-3)}$

$\frac{1}{(x-1)(x-3)}-\frac{1}{(x-2)(x-3)}>0$

$\frac{(x-2)-(x-1)}{(x-1)(x-2)(x-3)}>0$

$-\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)}>0$

$\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)}<0$

C3. Дробно-рациональное и иррациональное неравенства

Ответ первого неравенства: (-∞ 1); (2; 3)

Решим второе неравенство именно на (-∞ 1); (2; 3). При этом x < 3.
Умножим обе части на строго положительный знаменатель (3 - x >0).

${\sqrt{x^2-5x+8}}\geq{3-x}$

Обе части неравенства неотрицательны. Возведя обе части в квадрат,
мы получаем равносильное ему неравенство на (-∞ 1); (2; 3).

${x^2-5x+8}\geq{(3-x)^2}$

${x^2-5x+8}\geq{x^2-6x+9}$

${x}\geq{1}$

Учитывая результат второго неравенства (-∞ 1); (2; 3), получаем общий
ответ: (2; 3)