Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). Расстояние между центрами описанных окружностей в треугольнике (вар. 45)

В треугольнике АВС угол В прямой, точка М лежит на стороне АС, причем АМ : МС = 3 : 4.
Величина угла АВМ равна 60 градусов, ВМ = 8.
  а) Найдите величину угла ВАС.
  б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ВСМ и ВАМ

Расстояние между центрами описанных окружностей в треугольнике (вар. 45)

Рассмотрим треугольники АВМ и СВМ найдём отношение их площадей.

C4. Расстояние между центрами описанных окружностей в треугольнике (вар. 45)

SABM = 0,5·a·c·sin60°
SCBM = 0,5·b·c·sin30°
SABM : SCBM = (a·sin60°) : (b·sin30°) = a√3 : b

С другой стороны, отношение площадей треугольников равно отношению АМ к МС,
так как высоты, проведённые к основаниям АМ и МС, из вершины В, совпадают.
SABM : SCBM = АМ : МС = √3 : 4

Приравнивая найденные отношения, получим отношение b к а, это и есть tgА.
a√3 : b = √3 : 4
a : b = 1 : 4
b : a = 4 = tgА

Заметим, что длину отрезка ВМ мы не использовали! Вот и другой способ:
Проведём из точки М перпендикуляр к АВ и рассмотрим треугольник ВРМ.

C4. Расстояние между центрами описанных окружностей в треугольнике (вар. 45)

Гипотенуза ВМ равна 8 по условию, катет ВР равен 4 (напротив 30°), РМ = 43.

C4. Расстояние между центрами описанных окружностей в треугольнике (вар. 45)

Учитывая теорему Фалеса и условие АМ : МС = 3 : 4, получаем, что АР = √3.

C4. Расстояние между центрами описанных окружностей в треугольнике (вар. 45)

Из треугольника АРМ находим, что tgA = PM : PA = 4√3 : √3 = 4.

Оба центра К и Т описанных около треугольников ВСМ и ВАМ окружностей
лежат на серединном перпендикуляре, проведённом к общей стороне ВМ.

C4. Расстояние между центрами описанных окружностей в треугольнике (вар. 45)

Интересно, что треугольник ТВК подобен треугольнику ВАС по двум углам.

C4. Расстояние между центрами описанных окружностей в треугольнике (вар. 45)

Угол ВАМ вписан в окружность и равен половине дуги, на которую опирается.
Угол ВТР - половина центрального угла ВТМ и равен половине той же дуги.

C4. Расстояние между центрами описанных окружностей в треугольнике (вар. 45)

Аналогично равны углы МСВ и РКВ. Это значит, что ∠ТВК = ∠АВС = 90°.
В прямоугольном треугольнике ТВК найдём ТК, если ВР = 4 и tg∠Т = 4
В треугольнике ВТР катет ТР в 4 раза меньше катета ВР, т.е. ТР = 1.

C4. Расстояние между центрами описанных окружностей в треугольнике (вар. 45)

В треугольнике ВКР катет РК в 4 раза больше катета ВР, т.е. РК = 16.

C4. Расстояние между центрами описанных окружностей в треугольнике (вар. 45)

Здесь мы воспользовались тем, что tg∠Т = 4 и tg∠К = 0,25, т.к. ∠Т + ∠К = 90°.
Осталось сложить полученные отрезки, чтобы получить искомое расстояние.
ТК = ТР + РК = 1 + 16 = 17.

Ответ: а) arctg4; б) 17

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 7941

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): галя
Дата: 2013-10-21

спасибо

Комментарий добавил(а): Ирина
Дата: 2013-10-29

Можно ТР и КР найти из формулы: площадь треугольника =произведению сторон, деленному на 4радиуса описанной окружности. Площадь найти как половину произведения АВ и ВМ и синуса 60. И также для треугольника ВМС. По-моему так короче

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-10-29

Да, наверное, по-разному можно... Но лучше без лишних формул.

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика