Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S угол между боковым ребром и
плоскостью основания равен 60°, сторона основания равна 1, SH - высота пирамиды.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку Н
параллельно ребрам SA и BC.

Основание высоты правильной пирамиды - это центр треугольника АВС. Сначала проведём
через точку Н отрезок РТ, параллельный ребру ВС. Точки Р и Т принадлежат сечению.



В плоскости грани ACS через точку Т проведём отрезок ТК параллельно ребру AS.



В плоскости грани AВS через точку Р проведём отрезок PL параллельно ребру AS.



Соединив точки К и L, получим искомое сечение. Докажем, что это прямоугольник.



Отрезки ТК и PL не только параллельны (каждый параллелен AS), но и равны.



Значит, четырёхугольник KLPT - параллелограмм по признаку параллелограмма.
Кроме того, ТК ⊥ ТР, так как AS ⊥ CB, а стороны ТК и ТР параллельны AS и CB.
Докажем, что AS ⊥ CB. Можно воспользоваться теоремой о трёх перпендикулярах.
AS - наклонная, AD проекция этой наклонной на АВС, AD ⊥ CB, значит, AS ⊥ CB.

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо найти и перемножить его стороны.
Заметим, что сторона ТР составляет две трети от стороны основания ВС = 1.
Вторая сторона прямоугольника ТК составляет одну треть от бокового ребра AS.
Боковое ребро мы сможем найти из треугольника SAH, в котором ∠SAH = 60°
(угол между боковым ребром и основанием) и ∠ASH = 30°, а значит, АS = 2·AН.



Найти длину отрезка АН, зная сторону основания, можно разными способами.
Лучше обойтись без формул и рассмотреть прямоугольный треугольник АНF.









Вернёмся к треугольнику SAH и найдём боковое ребро пирамиды:





Осталось перемножить найденные стороны и получить площадь сечения:

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 27981