Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

14(C2). Площадь сечения пирамиды параллельна скрещивающимся рёбрам (вар. 45)

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S угол между боковым ребром и
плоскостью основания равен 60°, сторона основания равна 1, SH - высота пирамиды.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку Н
параллельно ребрам SA и BC.


Площадь сечения пирамиды параллельна скрещивающимся рёбрам (вар. 45)

Основание высоты правильной пирамиды - это центр треугольника АВС. Сначала проведём
через точку Н отрезок РТ, параллельный ребру ВС. Точки Р и Т принадлежат сечению.

C2. Площадь сечения пирамиды параллельна скрещивающимся рёбрам (вар. 45)

В плоскости грани ACS через точку Т проведём отрезок ТК параллельно ребру AS.

C2. Площадь сечения пирамиды параллельна скрещивающимся рёбрам (вар. 45)

В плоскости грани AВS через точку Р проведём отрезок PL параллельно ребру AS.

C2. Площадь сечения пирамиды параллельна скрещивающимся рёбрам (вар. 45)

Соединив точки К и L, получим искомое сечение. Докажем, что это прямоугольник.

C2. Площадь сечения пирамиды параллельна скрещивающимся рёбрам (вар. 45)

Отрезки ТК и PL не только параллельны (каждый параллелен AS), но и равны.



Значит, четырёхугольник KLPT - параллелограмм по признаку параллелограмма.
Кроме того, ТК ⊥ ТР, так как AS ⊥ CB, а стороны ТК и ТР параллельны AS и CB.
Докажем, что AS ⊥ CB. Можно воспользоваться теоремой о трёх перпендикулярах.
AS - наклонная, AD проекция этой наклонной на АВС, AD ⊥ CB, значит, AS ⊥ CB.

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо найти и перемножить его стороны.
Заметим, что сторона ТР составляет две трети от стороны основания ВС = 1.
Вторая сторона прямоугольника ТК составляет одну треть от бокового ребра AS.
Боковое ребро мы сможем найти из треугольника SAH, в котором ∠SAH = 60°
(угол между боковым ребром и основанием) и ∠ASH = 30°, а значит, АS = 2·AН.

C2. Площадь сечения пирамиды параллельна скрещивающимся рёбрам (вар. 45)

Найти длину отрезка АН, зная сторону основания, можно разными способами.
Лучше обойтись без формул и рассмотреть прямоугольный треугольник АНF.

C2. Площадь сечения пирамиды параллельна скрещивающимся рёбрам (вар. 45)







Вернёмся к треугольнику SAH и найдём боковое ребро пирамиды:





Осталось перемножить найденные стороны и получить площадь сечения:



Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 16867

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Gleb
Дата: 2013-10-20

Почему TK/AS=1/3?

Комментарий добавил(а): Валя
Дата: 2013-10-26

А почему AS=2AH?

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-10-26

Валя, в прямоугольном треугольнике напротив угла 30 градусов лежит катет, в два раза меньший гипотенузы.

Комментарий добавил(а): Валентина
Дата: 2013-10-14

Очень доступно!!!

Комментарий добавил(а): Лана
Дата: 2013-11-25

Отличные чертежи и доступное решение, большое спасибо.

Комментарий добавил(а): alisa
Дата: 2013-10-18

Спасибо! Решала так же, по применяла формулу связи радиуса описаной окружностей и стороны правильного треугольника.

Комментарий добавил(а): Anna
Дата: 2013-10-19

Почему AS перпендикулярна CB?

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-10-19

Анна, в тексте есть ответ на Ваш вопрос.

Комментарий добавил(а): ferc
Дата: 2014-01-02

Вот за это огромное спасибо! К сожалению, С2 вы показываете редко. Поэтому радуюсь каждой новой задаче! Спасибо!

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика