Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

18(C5). Преобразование уравнения с параметром и поиск решения (вар. 45)

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
a2x2 + 2a(√2-1)x + √x - 2 = 2√2 - 3
имеет хотя бы одно решение.


При некой сноровке и остроте опытного глаза можно сразу заметить, что:
1) Первые два слагаемых претендуют на квадрат суммы. Но где третье?
2) (√2 - 1)2 = 2 - 2√2 + 1 = 3 - 2√2 - недостающий квадрат нашёлся!
Получаем супер-уравнение (ax + √2 - 1)2 + √x - 2 = 0 (решено ниже)

Если же глаз не очень опытен, всё равно придём к тому же самому, но более длинным путём.
Раскроем скобки слева и заметив, что 2√2 встречается дважды, перегруппируем слагаемые.

a2x2 + 2a√2x - 2√2 - 2ax + 3 + √x - 2 = 0

a2x2 + 2√2(ax - 1) - 2ax + 3 + √x - 2 = 0

Если отщипнуть единичку от тройки и прибавить к первому и третьему слагаемым, то...

(a2x2 - 2ax + 1) + 2√2(ax - 1) + 2 + √x - 2 = 0

(ax - 1)2 + 2√2(ax - 1) + 2 + √x - 2 = 0

Заметим теперь, что первые три слагаемых представляют собой квадрат суммы.

(ax - 1)2 + 2√2(ax - 1) + (√2)2 + √x - 2 = 0

(ax - 1 + √2)2 + √x - 2 = 0

Сумма двух неотрицательных слагаемых может равняться нулю только в случае, если
оба слагаемых равны нулю одновременно. Второе слагаемое равно нулю при х = 2.
Нас устраивает только вариант, когда х = 2 является корнем и первого слагаемого.





Только при таком значении а уравнение имеет корень, и корень этот равен двум.

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 4802

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Людмила
Дата: 2013-10-13

Здорово! А я решала квадратное уравнение относительно параметра а.Ответ тот же, правда, решение намного длиннее.

Комментарий добавил(а): cfedefshina
Дата: 2013-11-25

При а=0тоже есть решение

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2013-11-25

Прежде чем утверждать, что "При а=0 тоже есть решение", подставьте 0 и решите сами))

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика