Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
a²x² + 2a(√2-1)x + √x - 2 = 2√2 - 3
имеет хотя бы одно решение.

При некой сноровке и остроте опытного глаза можно сразу заметить, что:
1) Первые два слагаемых претендуют на квадрат суммы. Но где третье?
2) (√2 - 1)² = 2 - 2√2 + 1 = 3 - 2√2 - недостающий квадрат нашёлся!
Получаем супер-уравнение (ax + √2 - 1)² + √x - 2 = 0 (решено ниже)

Если же глаз не очень опытен, всё равно придём к тому же самому, но более длинным путём.
Раскроем скобки слева и заметив, что 2√2 встречается дважды, перегруппируем слагаемые.

a²x² + 2a√2x - 2√2 - 2ax + 3 + √x - 2 = 0

a²x² + 2√2(ax - 1) - 2ax + 3 + √x - 2 = 0

Если отщипнуть единичку от тройки и прибавить к первому и третьему слагаемым, то...

(a²x² - 2ax + 1) + 2√2(ax - 1) + 2 + √x - 2 = 0

(ax - 1)² + 2√2(ax - 1) + 2 + √x - 2 = 0

Заметим теперь, что первые три слагаемых представляют собой квадрат суммы.

(ax - 1)² + 2√2(ax - 1) + (√2)² + √x - 2 = 0

(ax - 1 + √2)² + √x - 2 = 0

Сумма двух неотрицательных слагаемых может равняться нулю только в случае, если
оба слагаемых равны нулю одновременно. Второе слагаемое равно нулю при х = 2.
Нас устраивает только вариант, когда х = 2 является корнем и первого слагаемого.





Только при таком значении а уравнение имеет корень, и корень этот равен двум.

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 7405