Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

13(C1). Тригонометрическое уравнение методом введения дополнительного угла (вар. 44)

Решите уравнение cos7x - √3sin7x = -√2.
Найдите все корни на промежутке


Уравнение вида asinx + bcosx = c удобно решать методом введения дополнительного угла.
При этом обе части уравнения делятся на корень из суммы квадратов коэффициентов a и b.



Сумма квадратов новых старших коэффициентов равна 1, и каждый из них меньше единицы.
В этом случае их можно принять за синус и косинус нового аргумента α. В нашей задаче
этот способ особенно удобен, т.к. коэффициенты в уравнении стандартны и узнаваемы.
Делить обе части уравнения мы будем на √1 + 3 = √4 = 2.





В качестве вспомогательного аргумента возьмём угол 30° (можно и 60°. Попробуйте!)



Далее применим формулу синуса разности.



Воспользуемся нечётностью синуса и поменяем знаки обеих частей.



Решим простейшее тригонометрическое уравнение.

C1. Тригонометрическое уравнение методом введения дополнительного угла (вар. 44)

                    

                    

                        

                          

Чтобы осуществить отбор корней на отрезке, будем подставлять вместо n целые числа.

Заметим, что шаг (расстояние между соседними корнями одной серии) равен

Поэтому и концы отрезка удобно привести к знаменателю 84. Получим   

Перечисляя корни, отбираем только те, которые попадают в отрезок. Первая серия:

........                                      ........

Из этой серии нас устраивает только корень   .   Отбираем корни второй серии:

........                                      ........

Здесь нас устраивают два корня и

Ответ:         

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 21325

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Таня
Дата: 2013-10-26

Спасибо,а всегда можно будет по лучившиеся коэффициенты принять за синусы и косинусы по лучившихся углов

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-10-26

Таня, да, всегда. Но только в уравнениях определённого вида: asinx + bcosx = c

Комментарий добавил(а): konfeta
Дата: 2013-12-04

а почему +2Пn? у sin же +Пn?

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2013-12-04

"а почему +2Пn? у sin же +Пn?" Надо бы не заучивать формулы, а понимать, откуда что берётся. Разные есть способы решать уравнение.

Комментарий добавил(а): ilc
Дата: 2014-01-02

Отбор корней понравился. Хороший способ

Комментарий добавил(а): Дэн
Дата: 2014-04-04

Ещё 35Pi/84 ты забыл!

Комментарий добавил(а): Дуб
Дата: 2014-06-01

А почему так? Вроде без разницы - частным способом или через формулы, а ответ-то один и тот же должен получаться... А я решала через косинус: cos(pi/3+7*x) = -sqrt(2)/2 1) 7*x = 3*pi/4-pi/3 + 2*pi*n x= 5*pi/84 + 2*pi*n/7 - как в ответе. 2) а вот когда с минусом берем(по формуле же +-arccosa = 2*pi*n), то получается 7*x = -3*pi/4-pi/3 + 2*pi*n x = -13*pi/84 +2*pi*n/7... как же так?

Комментарий добавил(а): Анна
Дата: 2014-09-25

Я попробывала отбор корней найти, заключая каждую серию корней в двойное неравенство (по заданному отрезку), и находя, в каких пределах находится n. Почему у меня получилось больше n, чем нужно, не могу понять.

Комментарий добавил(а): Анна
Дата: 2014-09-25

Все, кажется поняла почему. Из-за двух слагаемых в решении, одно из которых без n.

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика