Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

13(C1). Тригонометрическое уравнение методом введения дополнительного угла (вар. 44)

Решите уравнение cos7x - √3sin7x = -√2.
Найдите все корни на промежутке $[\frac{2\pi}{5}; \frac{6\pi}{7}]$

Уравнение вида asinx + bcosx = c удобно решать методом введения дополнительного угла.
При этом обе части уравнения делятся на корень из суммы квадратов коэффициентов a и b.

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Сумма квадратов новых старших коэффициентов равна 1, и каждый из них меньше единицы.
В этом случае их можно принять за синус и косинус нового аргумента α. В нашей задаче
этот способ особенно удобен, т.к. коэффициенты в уравнении стандартны и узнаваемы.
Делить обе части уравнения мы будем на √1 + 3 = √4 = 2.

$cos{7x}-\sqrt{3}{sin7x}=-\sqrt{2}$

$\frac{1}{2}cos7x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin7x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

В качестве вспомогательного аргумента возьмём угол 30° (можно и 60°. Попробуйте!)

$sin{\frac{\pi}{6}}cos7x-cos{\frac{\pi}{6}}sin7x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Далее применим формулу синуса разности.

$sin{({\frac{\pi}{6}}-7x)}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Воспользуемся нечётностью синуса и поменяем знаки обеих частей.

$sin{(7x-{\frac{\pi}{6}})}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решим простейшее тригонометрическое уравнение.

C1. Тригонометрическое уравнение методом введения дополнительного угла (вар. 44)

$7x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{4}+2{\pi}n$                      $7x-\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{4}+2{\pi}n$

$7x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}+2{\pi}n$                      $7x=\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{6}+2{\pi}n$

$7x=\frac{5\pi}{12}+2{\pi}n$                          $7x=\frac{11\pi}{12}+2{\pi}n$

$x=\frac{5\pi}{84}+\frac{2{\pi}}{7}n$                            $x=\frac{11\pi}{84}+\frac{2{\pi}}{7}n$

Чтобы осуществить отбор корней на отрезке, будем подставлять вместо n целые числа.

Заметим, что шаг (расстояние между соседними корнями одной серии) равен $\frac{2\pi}{7}=\frac{24\pi}{84}$

Поэтому и концы отрезка удобно привести к знаменателю 84. Получим    $[\frac{33,6\pi}{84}; \frac{72\pi}{84}]$

Перечисляя корни, отбираем только те, которые попадают в отрезок. Первая серия:

........ $\frac{5\pi}{84}$              $\frac{29\pi}{84}$              $\frac{53\pi}{84}$              $\frac{82\pi}{84}$ ........

Из этой серии нас устраивает только корень   $\frac{53\pi}{84}$ .   Отбираем корни второй серии:

........ $\frac{11\pi}{84}$              $\frac{35\pi}{84}$              $\frac{59\pi}{84}$              $\frac{83\pi}{84}$ ........

Здесь нас устраивают два корня $\frac{35\pi}{84}$ и $\frac{59\pi}{84}$

Ответ: $\frac{5\pi}{12}$      $\frac{53\pi}{84}$      $\frac{59\pi}{84}$

Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 27235

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Таня
Дата: 2013-10-26

Спасибо,а всегда можно будет по лучившиеся коэффициенты принять за синусы и косинусы по лучившихся углов

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-10-26

Таня, да, всегда. Но только в уравнениях определённого вида: asinx + bcosx = c

Комментарий добавил(а): konfeta
Дата: 2013-12-04

а почему +2Пn? у sin же +Пn?

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2013-12-04

"а почему +2Пn? у sin же +Пn?" Надо бы не заучивать формулы, а понимать, откуда что берётся. Разные есть способы решать уравнение.

Комментарий добавил(а): ilc
Дата: 2014-01-02

Отбор корней понравился. Хороший способ

Комментарий добавил(а): Дэн
Дата: 2014-04-04

Ещё 35Pi/84 ты забыл!

Комментарий добавил(а): Дуб
Дата: 2014-06-01

А почему так? Вроде без разницы - частным способом или через формулы, а ответ-то один и тот же должен получаться... А я решала через косинус: cos(pi/3+7*x) = -sqrt(2)/2 1) 7*x = 3*pi/4-pi/3 + 2*pi*n x= 5*pi/84 + 2*pi*n/7 - как в ответе. 2) а вот когда с минусом берем(по формуле же +-arccosa = 2*pi*n), то получается 7*x = -3*pi/4-pi/3 + 2*pi*n x = -13*pi/84 +2*pi*n/7... как же так?

Комментарий добавил(а): Анна
Дата: 2014-09-25

Я попробывала отбор корней найти, заключая каждую серию корней в двойное неравенство (по заданному отрезку), и находя, в каких пределах находится n. Почему у меня получилось больше n, чем нужно, не могу понять.

Комментарий добавил(а): Анна
Дата: 2014-09-25

Все, кажется поняла почему. Из-за двух слагаемых в решении, одно из которых без n.

Добавить Ваш комментарий:

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников