Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

ГИА. Модуль Геометрия. Четыре точки лежат на одной окружности (1.10.2013)

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C,
центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот
треугольника ABC лежат на одной окружности.


ГИА. Доказать, что четыре точки лежат на одной окружности (1.10.2013)

Надо доказать, что четырёхугольник с вершинами в данных точках вписан в окружность.

ГИА. Доказать, что четыре точки лежат на одной окружности (1.10.2013)

Какие возможны действия? 1) Доказать, например, что сумма углов АСЕ и АОЕ равна 180°.
2) Доказать равенство углов ОАЕ и ЕСО. В этом случае они будут опираться на одну дугу.
Мы выберем третий путь - найдём точку, равноудалённую от всех четырёх жёлтых точек.
Сначала исследуем данную ситуацию и найдём связь между центром описанной
около треугольника окружности О и точкой пересечения высот треугольника Е.

ГИА. Доказать, что четыре точки лежат на одной окружности (1.10.2013)

Треугольники FOG и AEC подобны по двум углам, т.к. стороны одного из них
параллельны сторонам другого. Вспомним, что точка О - точка пересечения
серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, FG - средняя линия.
Коэффициент подобия равен двум, т.к. АС = 2·FG. Значит, CE = 2·OG.
А в прямоугольном треугольнике CEL ∠LCE = 30° и значит, CE = 2·LE.

ГИА. Доказать, что четыре точки лежат на одной окружности (1.10.2013)

Из двух последних равенств делаем замечательный вывод о том, что OG = LE.

ГИА. Доказать, что четыре точки лежат на одной окружности (1.10.2013)

В прямоугольном треугольнике АВL ∠BAL = 30° и BL = 0,5·AB. Значит, BL = BG.

ГИА. Доказать, что четыре точки лежат на одной окружности (1.10.2013)

Прямоугольные треугольники ВLЕ и BGO равны по двум катетам. Значит, ВЕ = ВО.

ГИА. Доказать, что четыре точки лежат на одной окружности (1.10.2013)

Треугольник ОВЕ равнобедренный, биссектриса ВТ угла ОВЕ является и серединным
перпендикуляром к отрезку ОЕ, а также (очевидно) биссектрисой угла АВС.

ГИА. Доказать, что четыре точки лежат на одной окружности (1.10.2013)

Точка К пересечения биссектрисы и окружности и есть точка, равноудаленная
от четырёх жёлтых точек С, А, О, Е. Осталось этот факт доказать.

ГИА. Доказать, что четыре точки лежат на одной окружности (1.10.2013)

Т.к. ВК - биссектриса, то точка К делит дугу АС пополам, следовательно, СК = АК.
∠КОА = 2·∠КВА = 60°, ОК = ОА = R. Значит, треугольник ОКА равносторонний.

ГИА. Доказать, что четыре точки лежат на одной окружности (1.10.2013)

Легко увидеть, что КЕ = КО. Из всех равных красных отрезков оставим только основные.

ГИА. Доказать, что четыре точки лежат на одной окружности (1.10.2013)

Найден центр окружности. описанной около четырёхугольника САОЕ. Утверждение доказано.

ГИА. Доказать, что четыре точки лежат на одной окружности (1.10.2013)

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 18688

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): светлана
Дата: 2013-10-25

конечно,красиво,но длинно, трудно и ученикам почти не доступно!

Комментарий добавил(а): Тамара Александровна Рыскина
Дата: 2013-10-09

Очень грамотно, убедительно и лаконично. Браво ! ! !

Комментарий добавил(а): Елена
Дата: 2013-11-23

Опять развлекаются взрослые люди, а задача для кого?

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2013-11-23

Елена, задача для думающих людей. Среди учеников таких много. Кто думать не хочет, за такие задачи и не берётся. Зачем?

Комментарий добавил(а): Татьяна Васильевна
Дата: 2013-11-21

Все понятно. Отлично!

Комментарий добавил(а): Майя
Дата: 2014-01-12

Красиво! Спасибо

Комментарий добавил(а): Лексей
Дата: 2014-01-12

Эта задача из ГИА 9 класса. Это очень сложная задача для 9 класса. Кризис образования!

Комментарий добавил(а): Денис
Дата: 2014-01-28

Сложно.

Комментарий добавил(а): Александр
Дата: 2014-02-24

Для школьников будет не понятно,а так все нормально

Комментарий добавил(а): Алла
Дата: 2014-04-30

Ольга, Вы умница! Нигде и никогда не пропускаю ни одного Вашего слова.

Комментарий добавил(а): надежда
Дата: 2014-10-22

существуют математические классы, таким детям тоже нужно что - то решать. Есть умные дети .

Комментарий добавил(а): Валентина
Дата: 2014-09-18

Это прекрасно! Красота!

Комментарий добавил(а): Panam
Дата: 2014-09-19

А такое решение подойдет? CEA=180°-B=120° COA=2*B=120°. Значит эти углы равны и опираются на одну и ту же дугу окружности, проходящей через эти точки.

Комментарий добавил(а): Валя
Дата: 2014-12-09

Спасибо Ranam

Комментарий добавил(а): Олег
Дата: 2015-02-12

Panam Дата: 2014-09-19 "А такое решение подойдет? CEA=180°-B=120° COA=2*B=120°. Значит эти углы равны и опираются на одну и ту же дугу окружности, проходящей через эти точки." Великолепно! Всё решение в одну строчку. Высший пилотаж.

Комментарий добавил(а): Любовь
Дата: 2016-06-09

Угол СОА=2*В=120о как центральный в треугольнике АВС..Через вершины С, О, А проведем описанную окружность..Угол СВД =120о(как смежный),угол СЕА=120о(как угол со взаимно перпендикулярными сторонами).Таким образом углы СОА и СЕА равны и опираются на одну и ту же дугу..Значит точки А, О, Е, С лежат на одной окружности. Извените, оформила чужую идею. Не понимаю, зачем усложнять легкие задачи-это отпугивает детей

Комментарий добавил(а): Татьяна
Дата: 2017-04-29

Ольга Себедаш решает задачи сложнее, чем можно было бы. А мы ведь за рациональность решения. Много раз ей это писала в сообщениях, но они удаляются. Дети умные есть. Кто бы спорил? Но усложнять несложное - это странно для математика.

Комментарий добавил(а): Deweydooms
Дата: 2017-06-22

If you have a desire to learn how to earn from $ 500 per day and work only for yourself, then write to us at email: admin@makemoneyonline.universalxyzdom.xyz

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика