Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C,
центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот
треугольника ABC лежат на одной окружности.

Надо доказать, что четырёхугольник с вершинами в данных точках вписан в окружность.



Какие возможны действия? 1) Доказать, например, что сумма углов АСЕ и АОЕ равна 180°.
2) Доказать равенство углов ОАЕ и ЕСО. В этом случае они будут опираться на одну дугу.
Мы выберем третий путь - найдём точку, равноудалённую от всех четырёх жёлтых точек.
Сначала исследуем данную ситуацию и найдём связь между центром описанной
около треугольника окружности О и точкой пересечения высот треугольника Е.



Треугольники FOG и AEC подобны по двум углам, т.к. стороны одного из них
параллельны сторонам другого. Вспомним, что точка О - точка пересечения
серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, FG - средняя линия.
Коэффициент подобия равен двум, т.к. АС = 2·FG. Значит, CE = 2·OG.
А в прямоугольном треугольнике CEL ∠LCE = 30° и значит, CE = 2·LE.



Из двух последних равенств делаем замечательный вывод о том, что OG = LE.



В прямоугольном треугольнике АВL ∠BAL = 30° и BL = 0,5·AB. Значит, BL = BG.



Прямоугольные треугольники ВLЕ и BGO равны по двум катетам. Значит, ВЕ = ВО.



Треугольник ОВЕ равнобедренный, биссектриса ВТ угла ОВЕ является и серединным
перпендикуляром к отрезку ОЕ, а также (очевидно) биссектрисой угла АВС.



Точка К пересечения биссектрисы и окружности и есть точка, равноудаленная
от четырёх жёлтых точек С, А, О, Е. Осталось этот факт доказать.



Т.к. ВК - биссектриса, то точка К делит дугу АС пополам, следовательно, СК = АК.
∠КОА = 2·∠КВА = 60°, ОК = ОА = R. Значит, треугольник ОКА равносторонний.



Легко увидеть, что КЕ = КО. Из всех равных красных отрезков оставим только основные.



Найден центр окружности. описанной около четырёхугольника САОЕ. Утверждение доказано.

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 30723