Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

ГИА. Модуль "Геометрия". Окружности касаются внешним образом

Две окружности с центрами O₁ и O₃ и радиусами 7 и 6 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром O₂ радиусом 14. Найдите угол O₁O₂O₃.

Пусть R₁, R₂ и R₃ - радиусы окружностей с центрами О₁, О₂ и О₃ соответственно.
Если окружности касаются друг друга внешним образом, то сумма их радиусов равна
расстоянию между центрами окружностей, т.е. R₁ + R₃ = O₁O₃ = 6 + 7 = 13 = R₂.
Но R₂ = 14, поэтому центры трёх окружностей не могут находиться на прямой.

Попробуем сделать чертёж по-другому. Возможна ли такая ситуация, как на рисунке?

Если окружности касаются друг друга внутренним образом, то расстояние между центрами
равно разности их радиусов, т.е. R₂ - R₁ = O₁O₂. Значит, O₁O₂ = 14 - 7 = 7, т.е. O₁O₂ = R₁.
Если расстояние от точки до центра окружности равно радиусу, то она лежит на окружности.

Итак, чертёж сделан теперь хорошо. Угол O₁O₂O₃ найдём из треугольника O₁O₂O₃.

Для этого найдём все три его стороны:
O₁O₂ = 14 - 7 = 7,
O₁O₃ = 7 + 6 = 13,
O₂O₃ = 14 - 6 = 8.

Осталось применить теорему косинусов для стороны O₁O₃:

${O_1O_3}^2={O_1O_2}^2+{O_2O_3}^2-{2}\cdot{O_1O_2}\cdot{O_2O_3}\cdot{cos\alpha}$

${13}^2={7}^2+{8}^2-{2}\cdot{7}\cdot{8}\cdot{cos\alpha}$

$169=49+64-{2}\cdot{7}\cdot{8}\cdot{cos\alpha}$

${2}\cdot{7}\cdot{8}\cdot{cos\alpha}=-56$

${2}\cdot{cos\alpha}=-1$

$cos\alpha=-\frac{1}{2}$

$\alpha=120^0$

Ответ: 120°

Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 38873

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Кака
Дата: 2013-10-17

Девятиклассики знают теорему косинусов Не надо врать!

Комментарий добавил(а): Светлана
Дата: 2013-10-03

Прекрасное решение! Спасибо за пошаговые рассуждения и рисунки, но девятиклассники еще не знают теорему косинусов, а без теоремы решение более объемное. Рановато дали такую задачу!

Комментарий добавил(а): Флюра
Дата: 2013-10-05

А еще девятые классы не изучали прогрессию и решение квадратичных неравенств.

Комментарий добавил(а): нина
Дата: 2013-10-05

Задача №25 больше подходит под №26,а № 26 дали рано.

Комментарий добавил(а): Елена
Дата: 2013-11-23

Сложность заданий по геометрии 2 ч. выходит за рамки программы и факультатива.Как учителю извернуться, чтобы оправдать свою зарплату(?),ведь с его мнением не желают считаться господа составители тестов. Им решение-забава, а учителю ???

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2013-11-23

Елена, мне не кажется, что задача выходит за рамки школьной программы. Она просто для думающих детей. Совершенно необязательно решать её каждому.

Комментарий добавил(а): Александр
Дата: 2014-01-20

в 9-м классе теорема косинусов есть в школьной программе.

Комментарий добавил(а): Виолета
Дата: 2014-03-19

Не все девятиклассники знают эту теорему, тут уж смотря какая программа, не все углубленнки изучают ее в одно и тоже время-кто-то раньше, кто-то позже

Комментарий добавил(а): Дарья
Дата: 2014-05-17

Как дальше решать без теоремы косинусов?

Комментарий добавил(а): илья
Дата: 2014-05-29

девятиклассники знают теорему косинусов!

Комментарий добавил(а): Глеб
Дата: 2015-04-12

Даже большинство людей закончивших 8 класс знают теорему косинусов

Комментарий добавил(а): Глеб
Дата: 2015-04-12

Процентов 96 примерно

Комментарий добавил(а): ИринА
Дата: 2015-05-06

Огромное спасибо! Отличное обьяснение! А теорему косинусов в 9 классе не знает только тот, кто не учится. Эта теорема не из углубленного курса геометрии.

Добавить Ваш комментарий:

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников