Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

ГИА. Модуль "Геометрия". Окружности касаются внешним образом

Две окружности с центрами O1 и O3 и радиусами 7 и 6 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром O2 радиусом 14. Найдите угол O1O2O3.


Пусть R1, R2 и R3 - радиусы окружностей с центрами О1, О2 и О3 соответственно.
Если окружности касаются друг друга внешним образом, то сумма их радиусов равна
расстоянию между центрами окружностей, т.е. R1 + R3 = O1O3 = 6 + 7 = 13 = R2.
Но R2 = 14, поэтому центры трёх окружностей не могут находиться на прямой.



Попробуем сделать чертёж по-другому. Возможна ли такая ситуация, как на рисунке?



Если окружности касаются друг друга внутренним образом, то расстояние между центрами
равно разности их радиусов, т.е. R2 - R1 = O1O2. Значит, O1O2 = 14 - 7 = 7, т.е. O1O2 = R1.
Если расстояние от точки до центра окружности равно радиусу, то она лежит на окружности.



Итак, чертёж сделан теперь хорошо. Угол O1O2O3 найдём из треугольника O1O2O3.



Для этого найдём все три его стороны:
O1O2 = 14 - 7 = 7,
O1O3 = 7 + 6 = 13,
O2O3 = 14 - 6 = 8.



Осталось применить теорему косинусов для стороны O1O3:















Ответ: 120°

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 29950

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Кака
Дата: 2013-10-17

Девятиклассики знают теорему косинусов Не надо врать!

Комментарий добавил(а): Светлана
Дата: 2013-10-03

Прекрасное решение! Спасибо за пошаговые рассуждения и рисунки, но девятиклассники еще не знают теорему косинусов, а без теоремы решение более объемное. Рановато дали такую задачу!

Комментарий добавил(а): Флюра
Дата: 2013-10-05

А еще девятые классы не изучали прогрессию и решение квадратичных неравенств.

Комментарий добавил(а): нина
Дата: 2013-10-05

Задача №25 больше подходит под №26,а № 26 дали рано.

Комментарий добавил(а): Елена
Дата: 2013-11-23

Сложность заданий по геометрии 2 ч. выходит за рамки программы и факультатива.Как учителю извернуться, чтобы оправдать свою зарплату(?),ведь с его мнением не желают считаться господа составители тестов. Им решение-забава, а учителю ???

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2013-11-23

Елена, мне не кажется, что задача выходит за рамки школьной программы. Она просто для думающих детей. Совершенно необязательно решать её каждому.

Комментарий добавил(а): Александр
Дата: 2014-01-20

в 9-м классе теорема косинусов есть в школьной программе.

Комментарий добавил(а): Виолета
Дата: 2014-03-19

Не все девятиклассники знают эту теорему, тут уж смотря какая программа, не все углубленнки изучают ее в одно и тоже время-кто-то раньше, кто-то позже

Комментарий добавил(а): Дарья
Дата: 2014-05-17

Как дальше решать без теоремы косинусов?

Комментарий добавил(а): илья
Дата: 2014-05-29

девятиклассники знают теорему косинусов!

Комментарий добавил(а): Глеб
Дата: 2015-04-12

Даже большинство людей закончивших 8 класс знают теорему косинусов

Комментарий добавил(а): Глеб
Дата: 2015-04-12

Процентов 96 примерно

Комментарий добавил(а): ИринА
Дата: 2015-05-06

Огромное спасибо! Отличное обьяснение! А теорему косинусов в 9 классе не знает только тот, кто не учится. Эта теорема не из углубленного курса геометрии.

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика