ГИА. Модуль "Геометрия". В трапеции диагонали перпендикулярны
В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны.
Высота трапеции равна 16. Найдите её среднюю линию.
В равнобедренной трапеции равны не только боковые стороны, но и диагонали,
что следует из равенства треугольников ABD и DCA. Кроме того, АС ⊥ BD.
Проведём высоту, длина которой дана по условию, сначала из вершины тупого угла (BH),
затем через точку пересечения диагоналей. Высота EF является осью симметрии трапеции.
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Рисовать мы её не будем, но вычислим:
Учтём, что ЕС = ВЕ и ВЕ = HF. Получим ЕС = HF. Продолжим верхнее равенство:
Задачу переформулируем так - зная высоту трапеции ВН, найти длину отрезка HD.
Интуиция подсказывает наверняка, что треугольник BHD равнобедренный и HD = 16.
Докажем это. Треугольник АОD прямоугольный равнобедренный, значит, ∠ODA = 45°.
А в прямоугольном треугольнике BHD второй острый угол тоже равен 45°. Значит, и он равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны и HD = BH = 16.
Ответ: 16
Можно проще: Так как треугольники АОD и BOC равнобедренные, то высота трапеции, проведенная через точку О(пересечение диагоналей) будет состоять из медиан этих треугольников. Но медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит высота трапеции равна полусумме оснований, то есть равна средней линии трапеции.
Комментарий добавил(а): Яна Дата: 2014-05-05
спасибо большое) очень хорошая решения) и все понятно)
Огромное спасибо! Никак не могла вникнуть в суть задачи, а после вашего объяснения все на свои места встало!!
Комментарий добавил(а): Галина Дата: 2015-10-14
спасибо,задача решена красиво и понятно.
Комментарий добавил(а): Алиса Дата: 2015-05-11
А ещё есть свойство: если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота, проведённая к большему основании, равна средней линии. В данном случае высота уже дана, так что задача в одно действие
Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш Дата: 2015-05-11
Алиса, так любую задачу можно обозвать свойством)) Данная задача и дана для того, чтобы это свойство простое ученик доказал. В этом и суть.