Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

ГИА. Модуль "Геометрия". В трапеции диагонали перпендикулярны

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны.
Высота трапеции равна 16. Найдите её среднюю линию.


В равнобедренной трапеции равны не только боковые стороны, но и диагонали,
что следует из равенства треугольников ABD и DCA. Кроме того, АС ⊥ BD.



Проведём высоту, длина которой дана по условию, сначала из вершины тупого угла (BH),
затем через точку пересечения диагоналей. Высота EF является осью симметрии трапеции.



Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Рисовать мы её не будем, но вычислим:





Учтём, что ЕС = ВЕ и ВЕ = HF. Получим ЕС = HF. Продолжим верхнее равенство:





Задачу переформулируем так - зная высоту трапеции ВН, найти длину отрезка HD.
Интуиция подсказывает наверняка, что треугольник BHD равнобедренный и HD = 16.
Докажем это. Треугольник АОD прямоугольный равнобедренный, значит, ∠ODA = 45°.



А в прямоугольном треугольнике BHD второй острый угол тоже равен 45°. Значит, и он равнобедренный.



В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны и HD = BH = 16.

Ответ: 16

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 40237

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Лилия
Дата: 2013-10-29

Очень красивое решение.

Комментарий добавил(а): Галина Михайловна
Дата: 2013-10-07

Красивое решение

Комментарий добавил(а): Игорь
Дата: 2014-02-19

Красивое решение, не буду оригинальничать)

Комментарий добавил(а): Елена
Дата: 2014-03-23

красивое решение, с этим не поспоришь.

Комментарий добавил(а): нв
Дата: 2014-04-13

спасибо, всё понятно

Комментарий добавил(а): Яна
Дата: 2014-04-04

красивое решение, прекрасное объяснение.

Комментарий добавил(а): наташа
Дата: 2014-04-02

спасибо замечательное пояснение

Комментарий добавил(а): Татьяна
Дата: 2014-04-17

Можно проще: Так как треугольники АОD и BOC равнобедренные, то высота трапеции, проведенная через точку О(пересечение диагоналей) будет состоять из медиан этих треугольников. Но медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит высота трапеции равна полусумме оснований, то есть равна средней линии трапеции.

Комментарий добавил(а): Яна
Дата: 2014-05-05

спасибо большое) очень хорошая решения) и все понятно)

Комментарий добавил(а): Раиса
Дата: 2014-11-03

Красивое решение и понятное

Комментарий добавил(а): Катя
Дата: 2014-10-01

Понятное и красивое решение) не поспоришь

Комментарий добавил(а): Мадина
Дата: 2014-12-16

Просто супер

Комментарий добавил(а): Наталья Анатольевна
Дата: 2017-02-22

большое спасибо

Комментарий добавил(а): Анастасия
Дата: 2015-05-24

Огромное спасибо! Никак не могла вникнуть в суть задачи, а после вашего объяснения все на свои места встало!!

Комментарий добавил(а): Галина
Дата: 2015-10-14

спасибо,задача решена красиво и понятно.

Комментарий добавил(а): Алиса
Дата: 2015-05-11

А ещё есть свойство: если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота, проведённая к большему основании, равна средней линии. В данном случае высота уже дана, так что задача в одно действие

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2015-05-11

Алиса, так любую задачу можно обозвать свойством)) Данная задача и дана для того, чтобы это свойство простое ученик доказал. В этом и суть.

Комментарий добавил(а): алик
Дата: 2015-05-14

большое спасибо

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика