Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

12. Нахождение точки минимума функции двумя способами (вар. 44)

Найдите точку минимума функции


График функции можно опустить на 6 единиц вниз, и точка минимума останется на месте.



Будем искать точку минимума последней функции. Заметим, что она является нечётной.



Учитывая, что её график симметричен относительно точки О, рассмотрим сначала x > 0.

Воспользуемся следующим утверждением: если произведение двух положительных чисел постоянно
и равно а, то сумма этих чисел достигает наименьшего значения, если каждое из них равно
а.

В нашем случае оба слагаемых положительны, и их произведение постоянно и равно 324.



Поэтому их сумма наименьшая, если каждое слагаемое принимает значение √324 = 18.
х = 18 и есть точка минимума функции y = f(x) для положительных значений аргумента.
Так как функция нечётная, и её график симметричен относительно нуля, то точка х=-18
является точкой максимума функции. В точке 0 функция не определена и имеет разрыв.

Ответ: 18

Можно поступить и традиционным способом, исследовав функцию с помощью производной.











Две критические точки 18 и -18 и точка разрыва 0 делят ось ОХ на четыре интервала.
Определим знаки производной на каждом из этих интервалов.



Поведение функции зависит от знаков производной. Если производная положительна,
то функция возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает.



Функция имеет два экстремума. В точке х = 18 убывание сменяется возрастанием.
Это и есть точка минимума функции. Точка х = -18 - точка максимума функции.
Изобразим схематически график функции




Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 56314

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Наум
Дата: 2013-10-03

Можно было показать другие решения без применения производной.

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-10-03

Наум, я показала выше способ без производной. Здесь представлены два способа решения.

Комментарий добавил(а): Валентина
Дата: 2013-10-04

А применить неравенство Коши?

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-10-04

Что Вы конкретно имеете в виду, Валентина, под словом "применить"?

Комментарий добавил(а): катя
Дата: 2013-11-30

а как определить знак производной? объясните пожалуйста.

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2013-11-30

Катя, просто из каждого промежутка подставляем значения в производную и определяем её знак

Комментарий добавил(а): Леонтин.
Дата: 2013-12-08

Мне все понятно, спасибо.

Комментарий добавил(а): Вадим
Дата: 2014-09-20

Пригодилось, спасибо)))

Комментарий добавил(а): Шамиль
Дата: 2014-10-02

Благодарю, спасибо!

Комментарий добавил(а): Honney
Дата: 2017-05-15

Awesome you should think of sohntmieg like that

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика