12. Наименьшее значение функции на отрезке. Два способа (24.09.2013)
Найдите наименьшее значение функции y = (x + 6)2(x + 3) + 11 на отрезке [-5; 5].
Стандартный алгоритм поиска наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке таков:
1) Ищем производную данной функции.
2) Приравниваем производную нулю и находим критические точки.
3) Отбираем среди них те, которые принадлежат данному отрезку.
4) Вычисляем значения функции в этих точках и на концах отрезка.
5) Сравнивая полученные результаты, делаем выводы и даём ответ.
Итак, начнём с производной. Взять её можно разными способами. Способ "лобовой":
y = (x + 6)2(x + 3) + 11y' = 2(x + 6)(x + 3) + (x + 6)2y' = (x + 6)(2x + 6 + x + 6)y' = (x + 6)(3x + 12)y' = 3(x + 6)(x + 4)
Способ "обходной". Упростим сначала саму функцию, превратив её в многочлен.
y = (x + 6)2(x + 3) + 11y = (x2 + 12х + 36)(х + 3) + 11y = x3 + 15x2 + 72х + 119
Взять производную многочлена совсем просто!
y = 3x2 + 30х + 72y = 3(x2 + 10х + 24)y' = 3(x + 6)(x + 4)
Разумеется, результаты совпадают. Критических точек две: -6 и -4.И только одна из них принадлежит отрезку [-5; 5] - это точка х = -4.
Найдём значения функции на концах отрезка и в точке х = -4:
y(-5) = (-5 + 6)2(-5 + 3) + 11 = -2 + 11 = 9y(-4) = (-4 + 6)2(-4 + 3) + 11 = -4 + 11 = 7y(5) = (5 + 6)2(5 + 3) + 11 = 121 · 8 + 11 = ...
Среди трёх найденных значений наименьшим, очевидно, является 7.
Ответ: 7.
Замечу, что уже найдя производную, можно было продолжить исследование функции.
Определим знаки производной 3(x + 6)(x + 4) на трёх интервалах и вспомним, как
зависит поведение функции от этих знаков. Если производная положительна, то функция возрастает, а если производная отрицательна, то функция убывает.
Учтём теперь, что нас интересует поведение функции только на отрезке [-5; 5].
Понятно теперь, что наименьшее значение функции на отрезке достигается в точке -4.
Это избавляет от необходимости вычислять значения функции в остальных точках.
y(-4) = (-4 + 6)2(-4 + 3) + 11 = -4 + 11 = 7
Когда работаем по алгоритму мы не должны забывать про область определения функции/ В данном сюжете вроде в этом и нет необходимости. Но прошедшийй ЕГЭ показал, что многие ошибки были связаны именно с D(x)
Комментарий добавил(а): Алина Дата: 2014-02-16
спасибо большое Вам)
Комментарий добавил(а): дарья Дата: 2015-09-25
Спасибо огромное!но я не поняла про еретические точки...
Учтём теперь, что нас интересует поведение функции только на отрезке [-5; 5].
Понятно теперь, что наименьшее значение функции на отрезке достигается в точке -4.
Это избавляет от необходимости вычислять значения функции в остальных точках.
y(-4) = (-4 + 6)2(-4 + 3) + 11 = -4 + 11 = 7