Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

3. Треугольник с вершинами в серединах сторон данного треугольника (24.09.2013)

Периметр треугольника ABC равен 6. Найдите периметр треугольника FDE,
вершинами которого являются середины сторон треугольника ABC.


Стороны маленького треугольника являются средними линиями большого. Средняя линия
треугольника в два раза меньше его основания. Обозначим маленькие стороны x, y и z.



Тогда стороны большого треугольника равны 2x, 2y и 2z. Периметр - это сумма всех сторон.
PABC = 2x + 2y + 2z. По условию задачи эта сумма равна шести, то есть 2x + 2y + 2z = 6.
Поделим это равенство на два и получим: x + y + z = 3. А это означает, что PDEF = 3.

Ответ: 3


Решим задачу и с помощью подобия. Докажем подобие треугольников ABC и DEF.
Четырёхугольник AFED - параллелограмм по определению параллелограмма, т.к. его
противоположные стороны попарно параллельны (работает свойство средней линии).



А у параллелограмма противоположные углы равны по свойству параллелограмма.
Получаем, что ∠FAD = ∠FED. И аналогично имеем: ∠DВЕ = ∠DFE и ∠FСЕ = ∠FDЕ.



Треугольники подобны по двум углам, а коэффициент подобия равен двум. Все
соответствующие линейные размеры отличаются в два раза. Значит, и периметр
треугольника DEF в два раза меньше периметра треугольника ABC.


Замени теперь в условии слова "периметр" на слова "площадь" и реши новую задачу:

Площадь треугольника ABC равен 6. Найдите площадь треугольника FDE,
вершинами которого являются середины сторон треугольника ABC.

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 35620

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): катька
Дата: 2013-11-25

спасибо умнички)очень помогли

Комментарий добавил(а): надежда
Дата: 2014-06-16

огромное спасибо!

Комментарий добавил(а): Андрей
Дата: 2015-04-13

Огромное спасибо

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика