Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). Вписанный в окружность четырёхугольник с биссектрисами (вар. 43)

В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов А и В
пересекаются в точке Е, лежащей на стороне CD. Известно, что CD:BC = 3:2.
а) Доказать, что расстояния от точки Е до прямых АD и ВС равны.
б) Найти отношение площадей треугольников ADE и BCE.




Т.к. точка Е лежит на биссектрисе угла А, то она одинаково удалена от прямых АВ и АD.
Т.к. точка Е лежит на биссектрисе угла В, то она одинаково удалена от прямых АВ и ВС.



Значит, точка Е одинаково удалена от прямых АD и ВС, что и требовалось доказать.



Чтобы найти отношение площадей треугольников ADE и BCE с равными высотами,
надо найти отношения оснований, к которым эти высоты проведены, т.е. AD:BC.
Т.к. четырёхугольник вписан в окружность, то треугольники TCD и ТАВ подобны.



Это следует из того, что т.к. ∠1 + ∠BAD = 180° и ∠2 + ∠BAD = 180°, то ∠1 = ∠2.
Подобие красивое, но в данном случае нам понадобится именно равенство углов.
Через точку Е проведём отрезок КТ, параллельный стороне АВ. При этом ∠3 = ∠2.



Образовавшиеся на рисунке треугольники КЕС и DЕТ равны. Докажем этот факт.
Для этого рассмотрим сначала голубые прямоугольные треугольники, они равны
по катету (доказано выше) и противолежащему острому углу. Поэтому ЕС = ЕТ.



Красные треугольники КЕС и DЕТ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.



Из равенства треугольников следует равенство сторон КЕ и , а также КС и .



Заодно замечаем, что сторона CD четырёхугольника равна длине отрезка КТ.
Из параллельности прямых КТ и АВ следует и равенство рыжих углов ТАЕ и ТЕА .



Треугольник ТАЕ равнобедренный и ТА = ТЕ. Аналогично равны стороны КВ и КЕ.



Из полученных равенств делаем интересный вывод. Собираем по кусочкам сторону CD:
CD = KT = KE + TE = KB + AT = (BC - CK) + (AD + DT) = BC + AD + DТ - СК = BC + AD



Теперь учитывая данное отношение CD:BC = 3:2 и сделанный вывод CD = BC + AD,
получаем, что АD:BC = 1:2, и значит, SАDЕ:SBCЕ = 1:2.

Ответ: 1:2

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 10985

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Елена
Дата: 2013-09-25

Спасибо, прекрасное решение.

Комментарий добавил(а): Екатерина
Дата: 2013-11-25

почему катеты KE и ET равны?

Комментарий добавил(а): Лидия Ивановна
Дата: 2013-10-01

такую задачу хорошо решать, когда есть свободное время, но только не на ЕГЭ! Издеваемся над учениками!

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-10-01

Лидия Ивановна, не согласна с Вами)) На таких замечательных задачах хорошо учиться. Это же тренировка мозгов, умения думать. Как ещё? Такого на ЕГЭ и не будет.

Комментарий добавил(а): Галина
Дата: 2013-09-24

Не пойму почему угол TAE равен углу TEA...

Комментарий добавил(а): Галина
Дата: 2013-09-24

Поняла, забыла, что AE - биссектриса

Комментарий добавил(а): Флюра
Дата: 2013-10-05

Спасибо Вам, Ольга! Не могли ли бы Вы решить С2? Хотя бы намеки какие-то.

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2013-11-25

"почему катеты KE и ET равны?" Про это в задаче не сказано, они не равны.

Комментарий добавил(а): Ирина
Дата: 2014-02-18

не поняла, почему CD=KT

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика