Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

5. Наименьший корень простейшего тригонометрического уравнения (вар. 43)

Найдите корень уравнения. В ответе напишите наименьший положительный корень

$sin{\frac{\pi(2x+5)}{6}}=0,5$

Заменим временно многобуквенный аргумент одной маленькой буковкой t.

$t={\frac{\pi(2x+5)}{6}}$

Простейшее уравнение sint = 0,5 имеет две серии корней (красную и синюю):

Эти серии записываются следующим образом:

$t=\frac{\pi}{6}+2\pi{n}$                        $t=\frac{5\pi}{6}+2\pi{n}$

Возвращаясь к переменной х, получим:

${\frac{\pi(2x+5)}{6}}=\frac{\pi}{6}+2\pi{n}$           ${\frac{\pi(2x+5)}{6}}=\frac{5\pi}{6}+2\pi{n}$

Поделим обе части каждого уравнения на π и умножим на шесть:

$2x+5=1+12n$                 $2x+5=5+12n$

$2x=-4+12n$                   $2x=12n$

$x=-2+6n$                        $x=6n$

Переменная n пробегает все целые значения. Легко заметить, что при n = 1
мы получим наименьший положительный корень первой серии x = -2 + 6 = 4
и наименьший положительный корень второй серии x = 6·1 = 6.
Наименьшим из найденных двух, очевидно, является x = 4.

Ответ: 4

Кстати, попробуйте подставить в уравнение и 4, и 6. Проверьте себя!