Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

13(C1). Формулы приведения в тригонометрическом уравнении (вар. 43)

а) Решите уравнение:



б) Найдите все его корни на промежутке [-π/2; π/2]


Воспользуемся тем, что cos(-x) = cosx, и поменяем знак аргумента в левой части:



Отнимем от аргумента два лишних витка, т.е. и вновь воспользуемся чётностью:



Теперь вспоминаем формулу приведения или представляем себе окружность (что лучше):

    

При этом надо помнить лишь определение синуса и косинуса на единичной окружности.



В правой части поменяем порядок слагаемых в аргументе и откинем виток :



И снова можно подсмотреть в шпаргалку, но лучше понимать происходящее самому:

    


В результате получаем новенькое уравнение -sin(2x) = -sin(4x) или sin(2x) = sin(4x).
Лучше всего применить здесь формулу синуса двойного угла sin(4x) = 2sin(2x)·cos(2x):









Уравнение в результате распадается на два простейших: 1) sin2x = 0 и 2) cos2x = 0,5.
Решаем их относительно аргумента (2х), и затем делим обе части на 2, выражая х.

Первое уравнение:







Второе уравнение:







Получили ответ к пункту а):

            


Изобразим полученные решения на единичной окружности. Первую серию - жёлтым цветом.



Вторая серия на рисунке разбита для понимания на две - красную π/6 + πn и голубую -π/6 + πn



На отрезке [-π/2; π/2] (коричневая дуга) лежит ровно пять точек. Пишем ответ к пункту б):

, , , ,

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 14949

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Юрий
Дата: 2013-09-28

В первом уравнении к аргументу прибавляем 8пи/2, тем самым сокращаем решение.

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-09-28

Юрий, миллион способов, это я прекрасно понимаю. Можно и сразу написать результат, представив аргумент мгновенно на окружности. Здесь я показываю и предлагаю некий алгоритм - сначала чётность-нечётность, только потом учитываем период.

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-09-28

Но впрочем, я допишу про Ваш вариант, он хороший)) Надо иметь в арсенале много оружия. Спасибо, Юрий!

Комментарий добавил(а): Diana
Дата: 2014-01-11

А почему cos(7П/2-2x)=cos(-п/2 -2x) а не cos(п/2-2x) ведь в sin(3п+4x)=sin(п+4x)

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-01-11

Диана, каждый раз к аргументу прибавляем 2п, это период. Попробуйте нарисовать окружность и пометить точки п/2-2x и п/2+2x. Посмотрите на их косинусы, они противоположны.

Комментарий добавил(а): алина
Дата: 2014-10-13

спасибо за подробное разъяснение

Комментарий добавил(а): Анатолий
Дата: 2014-10-31

Интересно, как или чем можно построить такие красивые рисунки!?

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-10-31

Анатолий, пользуюсь Живой геометрией

Комментарий добавил(а): Deweydooms
Дата: 2017-06-22

If you have a desire to learn how to earn from $ 500 per day and work only for yourself, then write to us at email: admin@makemoneyonline.universalxyzdom.xyz

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика