Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

13(C1). Формулы приведения в тригонометрическом уравнении (вар. 43)

а) Решите уравнение:

$cos(2x-\frac{7\pi}{2})=sin(4x+3\pi)$

б) Найдите все его корни на промежутке [-π/2; π/2]

Воспользуемся тем, что cos(-x) = cosx, и поменяем знак аргумента в левой части:

$cos(2x-\frac{7\pi}{2})=cos(\frac{7\pi}{2}-2x)$

Отнимем от аргумента два лишних витка, т.е. 4π и вновь воспользуемся чётностью:

$cos(\frac{7\pi}{2}-2x)=cos(-\frac{\pi}{2}-2x)=cos(\frac{\pi}{2}+2x)$

Теперь вспоминаем формулу приведения или представляем себе окружность (что лучше):

При этом надо помнить лишь определение синуса и косинуса на единичной окружности.

$cos(\frac{\pi}{2}+2x)=-sin(2x)$

В правой части поменяем порядок слагаемых в аргументе и откинем виток 4π:

$sin(4x+3\pi)=sin(3\pi+4x)=sin(\pi+4x)$

И снова можно подсмотреть в шпаргалку, но лучше понимать происходящее самому:

$sin(\pi+4x)=-sin(4x)$

В результате получаем новенькое уравнение -sin(2x) = -sin(4x) или sin(2x) = sin(4x).
Лучше всего применить здесь формулу синуса двойного угла sin(4x) = 2sin(2x)·cos(2x):

$sin2x=sin4x$

$sin2x=2\cdot{sin2x}\cdot{cos2x}$

$sin2x-2\cdot{sin2x}\cdot{cos2x}=0$

$sin2x(1-2\cdot{cos2x})=0$

Уравнение в результате распадается на два простейших: 1) sin2x = 0 и 2) cos2x = 0,5.
Решаем их относительно аргумента (2х), и затем делим обе части на 2, выражая х.

Первое уравнение:

$sin2x=0$

$2x=\pi{n}$

$x={\frac{\pi}{2}}\cdot{n}$

Второе уравнение:

$cos2x=0,5$

$2x=\pm{\frac{\pi}{3}}+2\pi{n}$

$x=\pm{\frac{\pi}{6}}+\pi{n}$

Получили ответ к пункту а):

${\frac{\pi}{2}}\cdot{n}$ $\pm{\frac{\pi}{6}}+\pi{n}$

Изобразим полученные решения на единичной окружности. Первую серию - жёлтым цветом.

Вторая серия на рисунке разбита для понимания на две - красную π/6 + πn и голубую -π/6 + πn

На отрезке [-π/2; π/2] (коричневая дуга) лежит ровно пять точек. Пишем ответ к пункту б):

$-\frac{\pi}{2}$ , $-\frac{\pi}{6}$ , $0$ , $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{2}$

Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 20321

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Юрий
Дата: 2013-09-28

В первом уравнении к аргументу прибавляем 8пи/2, тем самым сокращаем решение.

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-09-28

Юрий, миллион способов, это я прекрасно понимаю. Можно и сразу написать результат, представив аргумент мгновенно на окружности. Здесь я показываю и предлагаю некий алгоритм - сначала чётность-нечётность, только потом учитываем период.

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-09-28

Но впрочем, я допишу про Ваш вариант, он хороший)) Надо иметь в арсенале много оружия. Спасибо, Юрий!

Комментарий добавил(а): Diana
Дата: 2014-01-11

А почему cos(7П/2-2x)=cos(-п/2 -2x) а не cos(п/2-2x) ведь в sin(3п+4x)=sin(п+4x)

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-01-11

Диана, каждый раз к аргументу прибавляем 2п, это период. Попробуйте нарисовать окружность и пометить точки п/2-2x и п/2+2x. Посмотрите на их косинусы, они противоположны.

Комментарий добавил(а): алина
Дата: 2014-10-13

спасибо за подробное разъяснение

Комментарий добавил(а): Анатолий
Дата: 2014-10-31

Интересно, как или чем можно построить такие красивые рисунки!?

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-10-31

Анатолий, пользуюсь Живой геометрией

Добавить Ваш комментарий:

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников