Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

8. Площадь сечения правильного тетраэдра (вар. 42)


Ребра тетраэдра равны 1. Найдите  площадь  сечения, проходящего
через середины четырех его ребер.


Если интуиция подсказывает вам сразу, что сечением является квадрат,
то остаётся лишь найти его сторону, и площадь будет у вас в кармане!



Рассмотрим, например, треугольник ADB, в котором одна из сторон
квадрата является средней линией, а значит, FM = 0,5 · AB = 0,5.
Найти теперь площадь квадрата - дело техники: S = 0,5 · 0,5 = 0,25.

Ответ: 0,25

И всё же, несмотря на то, что ответ нами получен вроде бы "в рамках правил",
решим задачу более честно, доказав предварительно, что перед нами квадрат.
Сначала покажем параллельность противоположных сторон данного сечения.



Средняя линия ЕН треугольника АВС параллельна основанию АВ так же, как
средняя линия FM параллельна тому же отрезку АВ (на предыдущем рисунке).
По признаку параллельности прямых стороны ЕН и FM параллельны друг другу.
Аналогично доказывается параллельность другой пары сторон сечения.

Достаточно ли этих рассуждений теперь? Нет. Пока перед нами только ромб.
Требуется доказать, например, что угол между соседними сторонами прямой.



Для этого достаточно доказать перпендикулярность рёбер АВ и тетраэдра.
После этого мы учтём параллельность прямых FE и DC, а также FM и AB.
Как доказать перпендикулярность красных рёбер? Рассмотрим плоскость CDT.



Плоскость проходит через ребро CD и высоту DO тетраэдра. Точка О лежит
на медиане СТ равностороннего треугольника АВС, т.е. точка Т - середина АВ.
Медианы СТ и DT треугольников являются и высотами, т.е. СТ ⊥ АВ и DT ⊥ АВ.
Это значит, что прямая АВ перпендикулярна плоскости CDT по признаку
перпендикулярности прямой и плоскости, а значит, и прямой CD, лежащей
в этой плоскости, по определению перпендикулярности прямой и плоскости.

Вот теперь наше сечение из ромба превратилось в настоящий квадрат.


Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 40496

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Рубаиль
Дата: 2014-05-06

это просто супер, обяснили хорошо,да ещё и с картинкой. и почему же ни все сайты такие как этот.СПАСИБО.

Комментарий добавил(а): ))
Дата: 2014-10-26

спасибо!!!

Комментарий добавил(а): Алексей
Дата: 2015-04-04

Всё таки нужен угол CTD, ни где нет ответа!!!

Комментарий добавил(а): михаил
Дата: 2015-09-15

спасибо большое все понятно!!!!!!!!!

Комментарий добавил(а): Марк
Дата: 2016-03-13

Спасибо

Комментарий добавил(а): Brysen
Дата: 2017-05-15

Love the video - I generally wear boots not made for walking ha ha. So cute and dreamy. Now need to go and have a snHap;-)ifpfy weekend sweet Kim,Axx

Комментарий добавил(а): Deweydooms
Дата: 2017-06-22

If you have a desire to learn how to earn from $ 500 per day and work only for yourself, then write to us at email: admin@makemoneyonline.universalxyzdom.xyz

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика