Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

15(C3). Логарифмическое неравенство методом замены

Решите логарифмическое неравенство


Обратим внимание на простые компоненты, входящие в уравнение: (х - 1) и (х - 7).
Квадратный трёхчлен, стоящий под первым логарифмом, разложим на множители:
2 + 8х - 7 = -(х2 - 8х + 7) = -(х - 1)(х - 7). Узнаём те же самые компоненты.
Учтём теперь, что подлогарифмические выражения и основания логарифмов
должны быть положительными. Это значит, что х - 1 > 0 и -(х - 1)(х - 7) > 0.
Произведение положительно, (х - 1) положительно, значит, (х - 7) отрицательно.

Удобно теперь квадратный трёхчлен представить в виде произведения
положительных множителей: 2 + 8х - 7 = -(х - 1)(х - 7) = (х - 1)(7 - х).
И полный квадрат под вторым логарифмом перепишем: (х - 7)2 = (7 - х)2.
Дальше воспользуемся свойствами логарифмов произведения и степени:









Перепишем наше исходное неравенство теперь так:



Сделаем временную очевидную замену: logx - 1(7 - x) = t











В результате исходное уравнение равносильно следующему (возвращаемся к замене):



Пользуясь определением логарифма, можно уравнение переписать так:



Важно понимать, что последнее уравнение НЕ равносильно предыдущему!
Поэтому, получив его корни, не забудем сделать проверку предыдущего.



Из двух полученных корней 3 и -2 оставляем только 3, т.к.
при х = -2 основание логарифма отрицательно.

Ответ: 3

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 3060

Комментарии к этой задаче:

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика