|
15(C3). Логарифмическое неравенство методом замены
|
Решите логарифмическое неравенство
}-\frac{1}{16}\cdot{log^2_{x-1}{(x-7)^2}}\geq{2})
Обратим внимание на простые компоненты, входящие в уравнение: (х - 1) и (х - 7).
Квадратный трёхчлен, стоящий под первым логарифмом, разложим на множители:
-х2 + 8х - 7 = -(х2 - 8х + 7) = -(х - 1)(х - 7). Узнаём те же самые компоненты.
Учтём теперь, что подлогарифмические выражения и основания логарифмов должны быть положительными. Это значит, что х - 1 > 0 и -(х - 1)(х - 7) > 0.
Произведение положительно, (х - 1) положительно, значит, (х - 7) отрицательно.
Удобно теперь квадратный трёхчлен представить в виде произведения положительных множителей: -х2 + 8х - 7 = -(х - 1)(х - 7) = (х - 1)(7 - х).
И полный квадрат под вторым логарифмом перепишем: (х - 7)2 = (7 - х)2.
Дальше воспользуемся свойствами логарифмов произведения и степени:(7-x)}={log_{x-1}{(x-1)}}+{log_{x-1}{(7-x)}}=1+{log_{x-1}{(7-x)}})
^2}=log_{x-1}{(7-x)^2}={2}\cdot{log_{x-1}{(7-x)}})
^2}={({2}\cdot{log_{x-1}{(7-x)}}})^2={4}\cdot{log^2_{x-1}{(7-x)}})
^2}}=\frac{1}{16}\cdot{{4}\cdot{log^2_{x-1}{(7-x)}}}=\frac{1}{4}\cdot{log^2_{x-1}{(7-x)}})
Перепишем наше исходное неравенство теперь так:
}}-\frac{1}{4}\cdot{log^2_{x-1}{(7-x)}}}\geq2)
Сделаем временную очевидную замену: logx - 1(7 - x) = t
^2}\leq0)
В результате исходное уравнение равносильно следующему (возвращаемся к замене):
Пользуясь определением логарифма, можно уравнение переписать так:
^2=7-x)
Важно понимать, что последнее уравнение НЕ равносильно предыдущему!
Поэтому, получив его корни, не забудем сделать проверку предыдущего.
Из двух полученных корней 3 и -2 оставляем только 3, т.к.при х = -2 основание логарифма отрицательно.
Ответ: 3 Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 5361
|
|
