Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /home/muzeinie/egetrener.ru/view_post.php:28) in /home/muzeinie/egetrener.ru/blocks/shapka_minimalizm.php on line 3

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /home/muzeinie/egetrener.ru/view_post.php:28) in /home/muzeinie/egetrener.ru/blocks/shapka_minimalizm.php on line 3

Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Пришлю вам бесплатный урок по тригонометрии!

18(C5). Область значения функции содержит отрезок. Ищем параметр (вар. 41)


Найдите все значения параметра а, при каждом из которых область значений функции



содержит отрезок [1; 2].


Для начала выразим косинус через синус и заменим параметр (a - 1) буковкой k.



Очевидна замена t = sinx. Очевидно также, что -1 ≤ t ≤ 1 в силу ограниченности синуса.
Перед нами стоит задача найти такие значения k, при которых найдутся значения t,
такие что функция сможет принять и значение 1, и значение 2.

                    

           

t2 ≠ -k

Если бы функция при этом была бы непрерывна (в нашем случае знаменатель был бы отличен от нуля),
то этим дело бы и ограничилось. Непрерывная функция приняла бы все значения отрезка [1; 2].
На рисунках ниже примеры непрерывных функций, в область значений которых входит отрезок [1; 2].



Но нам придётся из найденных значений параметра выбросить те, при которых знаменатель обращается в ноль.
Причём, эти значения k нужно бы проверить, т.к. разрыв функции может произойти и вне нужного нам отрезка.

Разобьём задачу на три подзадачи:
1) Найдём значение параметра k, при которых уравнение t2 - t + 3k = 0 имеет решения на [-1; 1].
2) Найдём значение параметра k, при которых уравнение 2t2 - t + 4k = 0 имеет решения на [-1; 1].
3) Из найденных значений параметра исключим те, при которых t2 = -k.

1) На оси t выделим отрезок [1; 1] и отметим первую координату вершины параболы 0,5.



Для существования корней квадратного трёхчлена вообще достаточно условия f(0,5) ≤ 0.
А для существования корней на [-1; 1] потребуем, чтобы f(-1) ≥ 0. Здесь учитываем симметричность
корней относительно точки 0,5 и тот факт, 1 ближе к 0,5, чем -1. При этом f(t) = t2 - t + 3k.
В результате решения системы получим, что



2) Аналогично поступаем со второй задачей и получаем



Пересекаем получившиеся отрезки:



3) Вернёмся к первому уравнению t2 - t + 3k = 0. Рассмотрим те значения параметра, при которых t2 = -k.
Если t2 = -k, то подставив это значение в уравнение, получим       -k - t + 3k = 0;      t = 2k;      t2 = 4k2
Значит, 4k2 = -k, т.е. мы получаем два значения параметра, при которых происходит разрыв: 0 и -0,25.
Проверив оба значения, исключаем только -0,25. В итоге для параметра k имеем



Вернёмся к параметру а, прибавив к концам отрезка единицу:

,

Почему значение параметра, равное нулю, не выкидываем?


Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 16408

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): ида
Дата: 2013-10-16

можно решить графически,выражая к через t

Комментарий добавил(а): миня
Дата: 2013-09-16

ничего не понятно)

Комментарий добавил(а): Аня
Дата: 2013-09-11

УЖАС!!!!

Комментарий добавил(а): Артем
Дата: 2013-12-24

в 1 пункте:А для существования корней на [-1; 1] потребуем, чтобы f(-1) ≥ 0. разве не f(1) ≥ 0 ?

Комментарий добавил(а): Дана
Дата: 2014-01-11

Задачи таких типов для школьников сельских школ, да для многих школьников городских школ просто не доступны.

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-01-11

Дана, такие задачи доступны тем, кто ХОЧЕТ иметь высокий балл. Всегда есть книги и собственное желание. Эти задачи и не должны быть доступны каждому.

Комментарий добавил(а): Татьяна
Дата: 2014-03-20

Решение не верно при к=0, ПРОМЕЖУТОК ТОЖЕ ПРИНАДЛЕЖИТ ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ

Комментарий добавил(а): Илья (Маньяк БИОСа)
Дата: 2016-02-04

Всё понял, кроме того почему мы отбрасываем -0,25 и не отбрасываем 0 и куда мы их подставляем...

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика