Найдите все значения параметра а, при каждом из которых область значений функции
содержит отрезок [1; 2].
Для начала выразим косинус через синус и заменим параметр (a - 1) буковкой k.
Очевидна замена t = sinx. Очевидно также, что -1 ≤ t ≤ 1 в силу ограниченности синуса.
Перед нами стоит задача найти такие значения k, при которых найдутся значения t, такие что функция сможет принять и значение 1, и значение 2.
t2 ≠ -k
Если бы функция при этом была бы непрерывна (в нашем случае знаменатель был бы отличен от нуля),то этим дело бы и ограничилось. Непрерывная функция приняла бы все значения отрезка [1; 2]. На рисунках ниже примеры непрерывных функций, в область значений которых входит отрезок [1; 2].
Но нам придётся из найденных значений параметра выбросить те, при которых знаменатель обращается в ноль.
Причём, эти значения k нужно бы проверить, т.к. разрыв функции может произойти и вне нужного нам отрезка.
Разобьём задачу на три подзадачи:
1) Найдём значение параметра k, при которых уравнение t2 - t + 3k = 0 имеет решения на [-1; 1].
2) Найдём значение параметра k, при которых уравнение 2t2 - t + 4k = 0 имеет решения на [-1; 1].
3) Из найденных значений параметра исключим те, при которых t2 = -k.
1) На оси t выделим отрезок [1; 1] и отметим первую координату вершины параболы 0,5.
Для существования корней квадратного трёхчлена вообще достаточно условия f(0,5) ≤ 0.А для существования корней на [-1; 1] потребуем, чтобы f(-1) ≥ 0. Здесь учитываем симметричность корней относительно точки 0,5 и тот факт, 1 ближе к 0,5, чем -1. При этом f(t) = t2 - t + 3k. В результате решения системы получим, что
2) Аналогично поступаем со второй задачей и получаемПересекаем получившиеся отрезки:
3) Вернёмся к первому уравнению t2 - t + 3k = 0. Рассмотрим те значения параметра, при которых t2 = -k.
Если t2 = -k, то подставив это значение в уравнение, получим -k - t + 3k = 0; t = 2k; t2 = 4k2Значит, 4k2 = -k, т.е. мы получаем два значения параметра, при которых происходит разрыв: 0 и -0,25. Проверив оба значения, исключаем только -0,25. В итоге для параметра k имеем,
Вернёмся к параметру а, прибавив к концам отрезка единицу:
,
Почему значение параметра, равное нулю, не выкидываем?
Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 22265
|