Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность, касающаяся прямой ВС, 
а через вершины В и С проведена ещё одна окружность, касающаяся прямой АВ.
Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок АС в точке Е, 
а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.
а) доказать, что площади треугольников АВС и ABF равны;
б) найти отношение АЕ : ЕС, если АВ = 5 и ВС = 9.

Т.к. первая окружность проходит через точки А и В, её центр лежит на серединном перпендикуляре к АВ.
Т.к. она касается прямой ВС, то её центр лежит на перпендикуляре к ВС, проходящем через точку В.



Аналогично рассуждаем при построении центра второй окружности.



Продолжим хорду BD и отрезок AD так, как об этом сказано в условии.
Рассмотрим треугольники АВС и ABF.



Чтобы доказать равенство площадей треугольников с общим основанием АВ,
достаточно доказать равенство их высот, проведённых из вершин С и F.
Здесь для равенства высот необходима параллельность прямых АВ и СF.
А для параллельности прямых необходимо равенство углов ВАF и AFC.



Чтобы показать равенство зелёных углов 1 и 2, рассмотрим третий угол DВС.



∠DВС = ∠DFC, т.к. оба угла вписаны во вторую окружность и опираются на одну и ту же дугу DC.
С другой стороны, ∠DВС - это угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды
Следовательно, угол DВС равен половине дуги BD.
Но и вписанный в первую окружность угол BAD тоже равен половине дуги BD.
Таким образом, ∠DBC = ∠BAD. И значит, ∠DFC = ∠BAD.

Итак, мы доказали равенство углов ВАF и AFC.
Из равенства углов вытекает параллельность прямых АВ и СF.
Из параллельности прямых следует равенство высот треугольников АВС и ABF.
А из равенства высот, проведённых к общему основанию, следует равенство площадей треугольников.

Приступаем к пункту б) и найдём отношение АЕ : ЕС, если АВ = 5 и ВС = 9.
Заметим, что равенство рыжих углов на рисунке аналогично равенству зелёных.



Треугольники ABD и CBD оказываются подобными. И значит, ∠ADB = ∠BDC. Ну и отсюда ∠ADE = ∠CDE.



Получается, что в треугольнике ADC отрезок DE является биссектрисой. И мы близки к решению.



По свойству биссектрисы треугольника АЕ : ЕС = DA : DС.
Второе отношение ищем из подобия треугольников ABD и CBD.











Ответ: АЕ : ЕС = 25 : 81

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 15582