Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

22(C7). Использование монотонности функции


Решите уравнение: х6 - |7x-8|3 = 25cos(x2) - 25cos(7x-8).


Перепишем уравнение немножко по-другому:
25cos(7x-8) - |7x-8|3 = 25cos(x2) - х6.


Рассмотрим функцию f(t) = 25cost - |t|3.
Это чётная функция, которая убывает на [0; +∞) и возрастает на (-∞; 0].
(Убывание на [0; +∞) доказывается с помощью производной.
f′(t) = -25sint - 3t2 < 0 при t > 0)


Таким образом, получаем уравнение f(7x-8) = f(х2).
В силу монотонности функции на промежутках (-∞; 0] и [0; +∞)
это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
7х - 8 = х2 и 7х - 8 = -х2.
Корни первого уравнения: (7 ± √15)/2, а корни второго уравнения 8 и 1.
Ответ: (7 ± √15)/2; -8 и 1


Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 11794

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Людмила
Дата: 2009-11-26

Было-бы неплохо, рассмотреть t на промежутках от нуля до пи и от пи до двух пи. То есть утверждать, что при t>0 функция убывает без доказательства как-то ...

Комментарий добавил(а): Егэ-тренер
Дата: 2009-11-26

Согласна, Людмила. Давно собиралась. Просто руки не дойдут никак. Делала решение очень быстро, в день экзамена, вот так и получилось.

Комментарий добавил(а): Светлана
Дата: 2010-01-10

Решение великолепное и страшно что-то комментировать, я восхищена, но все-таки в ответе опечатка, под корнем не 15, а 17.

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика
дизельные электростанции Kipor