Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

14(C2). Угол между прямой и плоскостью


Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. AB = √29, AD = 5, AA1 = 2.
Точка М лежит на отрезке ВС1, точка N лежит на отрезке BD,
прямые AM и A1N пересекаются. Определите тангенс угла между
прямой АМ и плоскостью ADD1, если BN : ND = 2 : 3.



Т.к. прямые AM и A1N пересекаются, то через них можно провести плоскость
(жёлтое сечение на рисунке). При этом прямая КК1 окажется параллельной
прямой АА1, и точка М лежит на пересечении КК1 и ВС1
.


На нижнем основании ABCD образуются два подобных треугольника AND и KNB.
Учитывая, что BN:ND = 2:3, находим длину отрезка КВ, КВ = 10/3.
KC = BC - KB = 5 - 10/3 = 5/3 (см. первый дополнительный рисунок).


Рассм. боковую грань СС1В1В. Диагональ ВС1 = √4+25 = √29 по т. Пифагора.
Треугольники С1МК1 и ВМК подобны с коэффициентом подобия 0,5.

Поэтому МВ =
2
3
·C1B =
2√29
3


Углом между прямой АМ и гранью ADD1А1
является угол между прямой и её проекцией на эту грань
.


Перпендикуляр из т. М на грань ADD1А1 параллелен и равен АВ,
т.е. ММ1 = √29. АМ1 - проекция АМ на плоскость ADD1А1.


Рассм. прямоугольный треугольник АМ1М и найдём тангенс угла МАМ1.

tgα =
MM1
AM1
= √29 :
2√29
3
= 1,5.

Ответ: 1,5


Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 14034

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): ragima
Дата: 2013-09-08

класс

Комментарий добавил(а): я
Дата: 2015-03-22

супердуперпуперкласс

Комментарий добавил(а): tatjana
Дата: 2015-04-14

здорово

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика